Matrice associata a endomorfismo

[abbas90]

Sia $ f:R^4rarrR^4 $ e due vettori $ v_1=(2,-3,1,0) $ e $ v_2=(0,-1,1,-1) $. Si sa che $ Kerf=Imf=Span{v_1,v_2} $ . Scriva la matrice rispetto alla base canonica e verificare che ha come autovalore $0$ con molteplicità algebrica $4$.
Io ho pensato di considerare una base in partenza che sia $ B={v_1,v_2,v_3,v_4} $ con $v_1$ e $v_2$ che si conoscono e $v_3$ e $v_4$ tali che $ f(v_3)=v_1 $ e $ f(v_4)=v_2 $ e ciò lo so per ipotesi. La matrice associata rispetto alla base canonica verrebbe:
$ A=( ( 0 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , -3 , -1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ) ) $
Ma non mi viene che l'autovalore 0 ha molteplicità 4, un aiuto?

[Quinzio]

Hai trascurato la richiesta $Ker(f)=Im(f)=Span(v_1, v_2)$.
In pratica dovresti riempire le colonne con delle combinazioni lineari di $v_1, v_2$ (così da non alterare l'immagine) in modo che $Ker(f)=Im(f)=Span(v_1, v_2)$.

[abbas90]

Non ho capito bene cosa intendi. Per la matrice associata dovrei porre nelle colonne le immagini dei vettori della base di partenza. Io questi gli ho già indicati. Ora siccome qualunque combinazione di $v_1$ e $v_2$ va nel kernel ho messo due colonne nulle. Inoltre siccome l'immagine di f è data dallo spazio generato da quei due gli ho inseriti per riempire le altre due colonne. Non capisco dove è l'errore potresti essere più chiaro?

[abbas90]

Ok ho capito dopo due giorni ahhaah. Grazie dell'aiuto

[Quinzio]

Scusa se non ho più risposto...