Matrice associata
Sia $f:R^3 -> R^2$ l'omomorfismo definito da $f(x,y,z)=(x-2y+z,2x+y-z)$. Scrivere la matrice associata ad $f$ rispetto alle basi:
$B=<(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)>$ e $B'=<(2,1),(1,2)>$
Applicando la definizione di matrice associata rispetto ad una base $B$ calcolo le immagini dei vettori della base:
$f(1,0,0) = (1,2)$
$f(1,1,0) = (-1,3)$
$f(1,1,1) = (0,2)$
e le riscrivo come colonne della mia matrice 2x3 ($m = dim. spazio di arrivo, n = dim. spazio di partenza$):
$A = ((1,-1,0),(2,3,2))$
la prima è andata XD
La seconda base, essendo costituita da vettori di 2 elementi, come deve essere trattata?
Come se il terzo valore fosse uguale a 0? (Cioè in un certo senso come se ci fosse una terza colonna lin. dipendente?)
Attendo la vostra risposta, grazie!!
$B=<(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)>$ e $B'=<(2,1),(1,2)>$
Applicando la definizione di matrice associata rispetto ad una base $B$ calcolo le immagini dei vettori della base:
$f(1,0,0) = (1,2)$
$f(1,1,0) = (-1,3)$
$f(1,1,1) = (0,2)$
e le riscrivo come colonne della mia matrice 2x3 ($m = dim. spazio di arrivo, n = dim. spazio di partenza$):
$A = ((1,-1,0),(2,3,2))$
la prima è andata XD
La seconda base, essendo costituita da vettori di 2 elementi, come deve essere trattata?
Come se il terzo valore fosse uguale a 0? (Cioè in un certo senso come se ci fosse una terza colonna lin. dipendente?)
Attendo la vostra risposta, grazie!!
Risposte
C'è qualcosa che non va
La matrice di una data applicazione rispetto a delle basi lavora con le componenti non con le immagini dei vettori.
Cerco di spigarmi meglio.
La $j$-sima colonna della tua matrice avrà le componenti dell'immagine del $j$-simo vettore della base $B$ rispetto alla base $B'$.
Quindi la prima colonna, quella che corrisponde a $f(e_1)=(1,2)=a(2,1)+b(1,2)$ sarà formata da $a$ e $b$
La matrice di una data applicazione rispetto a delle basi lavora con le componenti non con le immagini dei vettori.
Cerco di spigarmi meglio.
La $j$-sima colonna della tua matrice avrà le componenti dell'immagine del $j$-simo vettore della base $B$ rispetto alla base $B'$.
Quindi la prima colonna, quella che corrisponde a $f(e_1)=(1,2)=a(2,1)+b(1,2)$ sarà formata da $a$ e $b$
"mistake89":
C'è qualcosa che non va
La matrice di una data applicazione rispetto a delle basi lavora con le componenti non con le immagini dei vettori.
Cerco di spigarmi meglio.
La $j$-sima colonna della tua matrice avrà le componenti dell'immagine del $j$-simo vettore della base $B$ rispetto alla base $B'$.
Quindi la prima colonna, quella che corrisponde a $f(e_1)=(1,2)=a(2,1)+b(1,2)$ sarà formata da $a$ e $b$
Ah io pensavo si dovessero "trattare" separatamente!
Di solito avendo una sola base espressa rispetto alla base canonica il procedimento è quello che ho illustrato io? uhm
EDIT: suppongo di sì ho verificato
nel modo seguente..trattandole separatamente e considerando le componenti rispetto alle basi canoniche avrò:
$(1,2) = a(1,0) + b(0,1)$ e dunque proprio $a=1$ e $b=2$ xD ovviamente ahah
non avevo compreso la traccia, grazie mille per avermi aperto gli occhi!
Sistemando le cose qua e là sì, ma tutto discende (ovviamente) dalla definizione e dalla costruzione generale. Pertanto ti consiglio di capire per bene quest'ultima e non solo un caso particolare.
"mistake89":
Sistemando le cose qua e là sì, ma tutto discende (ovviamente) dalla definizione e dalla costruzione generale. Pertanto ti consiglio di capire per bene quest'ultima e non solo un caso particolare.
sisi come avrai notato ho modificato il post precedente (per non inserire due risposte una di seguito all'altra !) e ho capito il tutto.. grazie mille !!
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