Matrice associata

[Claudia881]

Ciao a tutti, vi chiedo se questo procedimento è giusto...

Devo trovare la matrice associata dell'applicazione

$ f: R^4->R^3
$ f(x, y, z, t)=(x-y, y+z, t)

rispetto alle basi

$ B= ( (2, -1, 0, 0) (-1, 1, 0, 1) (0, 1, 0, 0) (1, 0, 1, 1))
$ B'= ( (1, 1, 1) (0, 1, 1) (1, -4, -3))

Io ho fatto così:

$ f(2, -1, 0, 0)=(3, -1, 0)
$ f(-1, 1, 0, 1)=(-2, 1, 1)
$ f(0, 1, 0, 0)=(-1, 1, 0)
$ f(1, 0, 1, 1)= (1, 1, 1)

Poi

$ (3, -1, 0)= a_1(1, 1, 1)+a_2(0, 1, 1)+a_3(1, -4, -3)
$ (-2, 1, 1)= b_1(1, 1, 1)+b_2(0, 1, 1)+b_3(1, -4, -3)
$ (-1, 1, 0)= c_1(1, 1, 1)+c_2(0, 1, 1)+c_3(1, -4, -3)
$ (1, 1, 1)= d_1(1, 1, 1)+d_2(0, 1, 1)+d_3(1, -4, -3)

Da qui ho trovato i valori degli scalari e risulta

$ a_1=2, a_2=1, a_3=1
$ b_1=-2, b_2=3, b_3=0
$ c_1=0, c_2=-3, c_3=-1
$ d_1=1, d_2=0, d_3=0

Da cui ne ho ricavato che la matrice associata rispetto alle basi è


$ ((2, -2, 0, 1),(1, 3, -3, 0), (1, 0, -1, 0))

è giusta?

Ma la matrice che ha come colonne le immagini dei vettori della base, cioè la matrice

$ ((3, -2, -1, 1),(-1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1))

cos'è? è la matrice associata solo ad una base?

Comunque ringrazio chi mi ha aiutato per gli altri esercizi di geometria! Tutto quello che mi avete spiegato è stato capito!

Grazie,
Claudia

[nirvana2]

"Claudia88":
Da cui ne ho ricavato che la matrice associata rispetto alle basi è


$ ((2, -2, 0, 1),(1, 3, -3, 0), (1, 0, -1, 0))

è giusta?

Sì, è giusta, ma ti sei complicata la vita!
Bastava che tu facevi così:
Sia $M$ la matrice della trasformazione rispetto a quelle nuove basi, allora questa è uguale a $M=B'^-1*A*B$ dove $A$ è la matrice della trasformazione rispetto alla base standard (canonica) che la vedi subito dalla trasformazione che hai scritto, ossia: $A=((1,-1,0,0),(0,1,10),(0,0,0,1))$
mentre le matrici $B$ e $B'$ hanno come colonne i vettori della base che hai scritto, ovviamente per la matrice $B'$ devi fare l'inversa visto che vai dalla vecchia alla nuova...
Ok?
Ciao.

[elgiovo]

"Claudia88":
Ma la matrice che ha come colonne le immagini dei vettori della base, cioè la matrice

$ ((3, -2, -1, 1),(-1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1))

cos'è? è la matrice associata solo ad una base?

E' la matrice associata alla base $B$ e alla base canonica di $RR^3$, infatti le colonne della
matrice sono i coefficienti da anteporre ai vettori ${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ per ottenere $f(v)$ con $v in B$.

[Claudia881]

Aaaaah ok perfetto capito, grazie mille!

[Claudia881]

Visto che ci sono vi pongo un altro dubbio...

Allora, sto facendo il seguente esercizio:

Determina l'applicazione lineare $ f: R^3->R^4 $tale che $ Kerf= L((1, 0, 1)), f(2, -1, 3)=(-2, 0, -1, -3) $e $ f(1, 0, 0)=(2, -3, 1, 1)
Determinare se esistono una base $ B $di $R^4 $e una base $B' $di $R^3 $ tale che la matrice associata ad f rispetto alle basi sia

$ ((1, 3, -1), (-1, 0, -2), (0, 2, -2), (2, 1, 0))

Io ho determinato l'applicazione, che è $ f(x, y, z)=(2x -2z, -3x +3y -3z, x -z, x +2y -z)

Ma come si fa la seconda parte?
La risposta comunque è che non esistono...

Grazie!