Matrice [4x4] irriducibile
Salve a tutti,
vorrei un chiarimento su questa matrice:
\[
A =
\begin{bmatrix}
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
1&0&0&0
\end{bmatrix}
\]
Se costruiamo il grafo associato alla matrice, notiamo che è fortemente connesso, ossia da ogni nodo si possono raggiungere tutti gli altri. Secondo il teorema annesso la matrice è quindi irriducibile in una matrice triangolare superiore a blocchi.
Ora però se io porto ad esempio l'ultima riga in cima, ottengo una matrice identità.
\[
A2 =
\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{bmatrix}
\]
Ma questa non è un tipo particolare di matrice triangolare a blocchi ? Credo che questo ultimo punto non mi sia chiaro, ossia se una matrice con gli elementi diagonali diversi da 0 e gli altri pari a 0 può essere considerata triangolare superiore a blocchi ( e anche inferiore ).
Allo stesso modo anche la matrice permutata:
\[
A4 =
\begin{bmatrix}
0&1&0&0\\
1&0&0&0\\
0&0&0&1\\
0&0&1&0
\end{bmatrix}
\]
può essere considerata una matrice triangolare a blocchi, con i blocchi di 2x2. Si ottiene sempre una matrice diagonale del tipo:
\[
A3 =
\begin{bmatrix}
a_{11}&0\\0&a_{22}
\end{bmatrix}
\]
A mio avviso quindi il teorema sull'irriducibilità si riferisce solo a matrici triangolare superiori a blocchi e in queste quindi non sono comprese le diagonali a blocchi. Mi sbaglio ? Vi prego illuminatemi.
Grazie in anticipo
vorrei un chiarimento su questa matrice:
\[
A =
\begin{bmatrix}
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
1&0&0&0
\end{bmatrix}
\]
Se costruiamo il grafo associato alla matrice, notiamo che è fortemente connesso, ossia da ogni nodo si possono raggiungere tutti gli altri. Secondo il teorema annesso la matrice è quindi irriducibile in una matrice triangolare superiore a blocchi.
Ora però se io porto ad esempio l'ultima riga in cima, ottengo una matrice identità.
\[
A2 =
\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{bmatrix}
\]
Ma questa non è un tipo particolare di matrice triangolare a blocchi ? Credo che questo ultimo punto non mi sia chiaro, ossia se una matrice con gli elementi diagonali diversi da 0 e gli altri pari a 0 può essere considerata triangolare superiore a blocchi ( e anche inferiore ).
Allo stesso modo anche la matrice permutata:
\[
A4 =
\begin{bmatrix}
0&1&0&0\\
1&0&0&0\\
0&0&0&1\\
0&0&1&0
\end{bmatrix}
\]
può essere considerata una matrice triangolare a blocchi, con i blocchi di 2x2. Si ottiene sempre una matrice diagonale del tipo:
\[
A3 =
\begin{bmatrix}
a_{11}&0\\0&a_{22}
\end{bmatrix}
\]
A mio avviso quindi il teorema sull'irriducibilità si riferisce solo a matrici triangolare superiori a blocchi e in queste quindi non sono comprese le diagonali a blocchi. Mi sbaglio ? Vi prego illuminatemi.
Grazie in anticipo
Risposte
Matrici che sono triangolari sono particolari matrici triangolari a blocchi e una matrice diagonale è sia triangolare superiore che inferiore. Cosa di sfugge di questo?
Mi sfugge che secondo il teorema relativo ai grafi la matrice che ho scritto è irriducibile ad una matrice triangolare superiore a blocchi... mentre io posso ridurla con semplici mosse a una matrice diagonale o una matrice diagonale a blocchi. Quindi non ho ben capito se il teorema esclude quelle triangolari superiori diagonali, oppure se le diagonali sono da considerarsi non facenti parte di quelle triangolari superiori a blocchi.
Una matrice diagonale a blocchi è sia triangolare superiore a blocchi che triangolare inferiore a blocchi. Esattamente come una diagonale è sia triangolare superiore che inferiore. Non c'è nessun motivo per supporre che in una triangolare gli elementi non diagonali debbano essere non nulli...
Si ok questo l'ho capito.
Ma nel mio esempio la matrice A è irriducibile secondo la teoria dei grafi. Ma io ho fatto vedere che posso ridurla in una matrice triangolare superiore a blocchi (in quel caso diagonale). Quindi o c'è qualcosa che sbaglio nei calcoli... oppure significa che il teorema di irriducibilità (legato al grafo associato) si riferisce alle matrice triangolari superiori a blocchi NON DIAGONALI.
Ma nel mio esempio la matrice A è irriducibile secondo la teoria dei grafi. Ma io ho fatto vedere che posso ridurla in una matrice triangolare superiore a blocchi (in quel caso diagonale). Quindi o c'è qualcosa che sbaglio nei calcoli... oppure significa che il teorema di irriducibilità (legato al grafo associato) si riferisce alle matrice triangolari superiori a blocchi NON DIAGONALI.
Perché ritieni che $A$ sia irriducibile? Esiste un insieme invariante di $A$ (con autovalore 1): il vettore $e_1+e_2+e_3+e_4+...+ e_n$ è un vettore invariante per l'azione del gruppo delle permutazioni sulla base. Quindi per la definizione usata http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_irriducibile è riducibile.
Tieni conto che l'esistenza della scomposizione l'ho vista anche usare come definizione di matrice irriducibile.
P.S: Recentemente su scienze matematiche abbiamo accennato al fatto che lo spazio fissato da una permutazione ha almeno la dimensione del numero dei suoi cicli.
Tieni conto che l'esistenza della scomposizione l'ho vista anche usare come definizione di matrice irriducibile.
P.S: Recentemente su scienze matematiche abbiamo accennato al fatto che lo spazio fissato da una permutazione ha almeno la dimensione del numero dei suoi cicli.
Ritengo che A sia irriducibile perchè se costruisci il grafo associato alla matrice viene fuori un grafo fortemente connesso. E c'è un teorema che dice che se una matrice è irriducibile il grafo ad essa associato è fortemente connesso e viceversa.
Mi devo scusare. In effetti non ci avevo riflettuto molto e ho scritto tante stupidaggini. Riguardo al mio controesempio si riferiva ad una definizione differente (come mostrato dall'Attenzione sotto). In effetti $A$ è irriducibile e nello stesso tempo una diagonale è una triangolare a blocchi. Il problema è che tu non puoi mandare $A$ in una diagonale (anche a blocchi)!
La relazione $B = P^tAP$ dice, tra le altre cose, che le matrici sono simili. Quindi in particolare hanno gli stessi autovalori.
Quindi già la matrice $ ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $ non è, notoriamente, simile all'identità ma a $ ( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $. Se i cicli sono più lunghi di 2 allora la matrice non è proprio diagonalizzabile (i suoi autovalori sono le radici dell'unità).
Questo anche supponendo che $P$ sia una matrice ortogonale qualsiasi ma essendo una permutazione possiamo dire, per mezzo della teoria dei gruppi simmetrici, che il coniugio mantiene la struttura in cicli. Quindi che ogni permutazione è simile (tramite una matrice di permutazioni) ad una matrice che è a blocchi diagonale in cui ogni blocco è un ciclo. Quindi si deduce che una permutazione su $n$ elementi è irriducibile se è un ciclo di dimensione $n$. Ora dovrebbe funzionare.
P.S: sperando di essermi rifatto delle cose che ho detto prima
La relazione $B = P^tAP$ dice, tra le altre cose, che le matrici sono simili. Quindi in particolare hanno gli stessi autovalori.
Quindi già la matrice $ ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $ non è, notoriamente, simile all'identità ma a $ ( ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $. Se i cicli sono più lunghi di 2 allora la matrice non è proprio diagonalizzabile (i suoi autovalori sono le radici dell'unità).
Questo anche supponendo che $P$ sia una matrice ortogonale qualsiasi ma essendo una permutazione possiamo dire, per mezzo della teoria dei gruppi simmetrici, che il coniugio mantiene la struttura in cicli. Quindi che ogni permutazione è simile (tramite una matrice di permutazioni) ad una matrice che è a blocchi diagonale in cui ogni blocco è un ciclo. Quindi si deduce che una permutazione su $n$ elementi è irriducibile se è un ciclo di dimensione $n$. Ora dovrebbe funzionare.
P.S: sperando di essermi rifatto delle cose che ho detto prima
Bene, bene... Ho riflettuto sulla tua risposta e mi torna. Ti ringrazio. 
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