Matrice 4x4
ho questo sistema e devo studiarlo al variare dei parametri reali h e k
${(x+y-z=1-h),(x+(1-h)y+hz=-k),(hy-z=0),(x+y+(h-1)z=-k):}$
Io ho fatto cosi'
scivo la matrice 4x4
A: $((1,1,-1,(1-h)),(1,(1-h),h,-k),(0,h,-1,0),(1,1,(h-1),-k))$
Svolgo i calcoli utilizzando il teorema di Laplace sulla terza riga (quella con piu' 0)
(-h) $((1,-1,(1-h)),(1,h,-k),(1,(h-1),-k))$ - $((1,1,(1-h)),(1,(1-h),-k),(1,1,-k))$
Calcolo il determinante e mi spariscono via tutti i termini.
Quindi il determinante della matrice 4x4=0 per qualsiasi h e k.
La domanda che mi faccio è il sistema è impossibile per qualsiasi valore di h e k?
L'esercizio finisce qui oppure c'e' da discutere qualcos'altro?
Grazie in anticipo
${(x+y-z=1-h),(x+(1-h)y+hz=-k),(hy-z=0),(x+y+(h-1)z=-k):}$
Io ho fatto cosi'
scivo la matrice 4x4
A: $((1,1,-1,(1-h)),(1,(1-h),h,-k),(0,h,-1,0),(1,1,(h-1),-k))$
Svolgo i calcoli utilizzando il teorema di Laplace sulla terza riga (quella con piu' 0)
(-h) $((1,-1,(1-h)),(1,h,-k),(1,(h-1),-k))$ - $((1,1,(1-h)),(1,(1-h),-k),(1,1,-k))$
Calcolo il determinante e mi spariscono via tutti i termini.
Quindi il determinante della matrice 4x4=0 per qualsiasi h e k.
La domanda che mi faccio è il sistema è impossibile per qualsiasi valore di h e k?
L'esercizio finisce qui oppure c'e' da discutere qualcos'altro?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao!
fino al calcolo del determinante mi trovo con te in tutto...il determinante di quella matrice 4x4 infatti sarà sempre zero, perchè ha almeno rango 3 indipendentemente dai valori di h e k: ciò si può dimostrare perchè si riesce ad annullare almeno una riga col metodo di gauss, senza porre condizioni su h e k.
Infatti, se una matrice nxn ha 2 righe o due colonne linearmente dipendenti avrà sempre determinante nullo e ciò si può vedere o ad occhio, confrontando 2 righe o due colonne, o riducendo la matrice con gauss.
Le conclusioni, invece, non sono giuste.
Ad esempio, per $h=0$ e $k=-1$ esisteranno infinite soluzioni del tipo $(x, 1-x, 0)$, dipendenti da una variabile libera (che io ho scelto essere x); puoi facilmente verificare che ciò che ti ho detto è corretto: scegliendo, infatti, la soluzione per cui $x=1$, ossia la soluzione $(x, y , z)=(1, 0 , 0)$, sostituisci questi valori nel sistema, insieme a $h=0$ e $k=-1$, troverai che ciascuna equazione sarà sempre vera...
Quando si ha a che fare con questi esercizi, quello che riesce meglio secondo me è semplificare la matrice data con il metodo di gauss, ritornare al sistema, risolverlo classicamente e trovare la soluzione generica dipendente da h e k, tenendo presente però che ogni qualvolta si compie una divisione (ad esempio si divide sia il primo che il secondo membro per $(h-2)$) si crea automaticamente un caso particolare (nel nostro esempio è il caso di $h=2$) che va considerato e trattato a parte.
Se invece l'esercizio non richiede in alcun caso di scrivere esplicitamente delle soluzioni, non c'è bisogno di risolvere il sistema in modo classico, basterà infatti fare semplicemente delle considerazioni sul rango della matrice ridotta con gauss al variare delle variabili h e k...
Spero di esserti stato utile
fino al calcolo del determinante mi trovo con te in tutto...il determinante di quella matrice 4x4 infatti sarà sempre zero, perchè ha almeno rango 3 indipendentemente dai valori di h e k: ciò si può dimostrare perchè si riesce ad annullare almeno una riga col metodo di gauss, senza porre condizioni su h e k.
Infatti, se una matrice nxn ha 2 righe o due colonne linearmente dipendenti avrà sempre determinante nullo e ciò si può vedere o ad occhio, confrontando 2 righe o due colonne, o riducendo la matrice con gauss.
Le conclusioni, invece, non sono giuste.
Ad esempio, per $h=0$ e $k=-1$ esisteranno infinite soluzioni del tipo $(x, 1-x, 0)$, dipendenti da una variabile libera (che io ho scelto essere x); puoi facilmente verificare che ciò che ti ho detto è corretto: scegliendo, infatti, la soluzione per cui $x=1$, ossia la soluzione $(x, y , z)=(1, 0 , 0)$, sostituisci questi valori nel sistema, insieme a $h=0$ e $k=-1$, troverai che ciascuna equazione sarà sempre vera...
Quando si ha a che fare con questi esercizi, quello che riesce meglio secondo me è semplificare la matrice data con il metodo di gauss, ritornare al sistema, risolverlo classicamente e trovare la soluzione generica dipendente da h e k, tenendo presente però che ogni qualvolta si compie una divisione (ad esempio si divide sia il primo che il secondo membro per $(h-2)$) si crea automaticamente un caso particolare (nel nostro esempio è il caso di $h=2$) che va considerato e trattato a parte.
Se invece l'esercizio non richiede in alcun caso di scrivere esplicitamente delle soluzioni, non c'è bisogno di risolvere il sistema in modo classico, basterà infatti fare semplicemente delle considerazioni sul rango della matrice ridotta con gauss al variare delle variabili h e k...
Spero di esserti stato utile
Ok grazie mille, ora provo a fare i calcoli per vedere se mi torna come dici te, pero' sei stato chirissimo grazie mille.
ultimo dubbio!
facendo gauss (se nn ho sbagliato) trovo la seguente matrice
$((1,1,-1,1-h),(0,-h,1+h,(-1+h-k)),(0,0,h,(-1+h-k)),(0,0,0,0))$
dopo non capisco come faccio a trovare la soluzione (x,1-x,0)
facendo gauss (se nn ho sbagliato) trovo la seguente matrice
$((1,1,-1,1-h),(0,-h,1+h,(-1+h-k)),(0,0,h,(-1+h-k)),(0,0,0,0))$
dopo non capisco come faccio a trovare la soluzione (x,1-x,0)
La tua riduzione di gauss è corretta ma può essere migliorata, cosa a cui bisognerebbe sempre puntare...
come si migliora? se non l'esperienza, a volte può bastare il provare a sottrarre convenientemente una riga (a) da un'altra (b) e, se il risultato (b-a) è una riga più semplice, basta sostituirla ad una delle due righe di partenza (la riga a oppure la b); ovviamente la riga da sostituire con la (b-a) dovrà essere la più complicata tra la a e la b, dove per riga più complicata si intende, qualora compaiano parametri come h e k, la riga che contiene non solo tali parametri ma anche (eventualmente) delle combinazioni tra i parametri.
In tutto ciò, l'imperativo deve essere quello di non distruggere la forma triangolare a cui si è pervenuti e ricorda bene che è sempre lecito scambiare tra di loro le righe!
Ritornando al nostro caso tu puoi sottrarre dalla seconda riga la terza riga, ottenendo la riga più semplice $(0, -h, 1, 0)$ ; a questo punto sostituisci tale semplice riga al posto della seconda, sia perchè è la più complessa delle due e sia perchè è l'unica possibilità che hai per non distruggere la forma triangolare precedentemente ottenuta.
Una volta che hai fatto ciò, esattamente come si passa da un sistema alla matrice associata, passa da questa matrice ridotta con gauss al sistema: otterrai stavolta un sistema di 3 equazioni in 3 incognite con i due parametri h e k e noterai che la soluzione avviene molto velocemente con il cosiddetto "metodo di risoluzione all'indietro": ad esempio, partendo dalla equazione corrispondente alla terza riga, da essa otterrai $z=(-1+h-k)/h$, sostituisci perciò questo "valore" di z nella seconda equazione e otterrai il "valore" di y (ossia y in funzione di h e k) e, infine, sostituendo sia il "valore" di z che il "valore" di y nella prima equazione otterrai il "valore" di x.
A questo punto bisogna tirare un luuungo respiro e non concludere frettolosamente che si è giunti alla soluzione dell'esercizio!
E' vero, puoi dire che il sistema dato ha un'unica soluzione, fissati dei valori numerici per i parametri h e k, e che tale unica soluzione ha un'espressione generale (cioè per h e k non fissati) che è $(x, y, z)=((-h^3+h(2+k)-(1+k))/(h^2), (-k-1+h)/(h^2), (-k-1+h)/h)$.
Ma è vero che puoi dirlo a patto di escludere alcuni casi e questi casi sono tutti quelli per cui hai compiuto delle divisioni per dei termini che contengono i parametri h e k: nel caso del tuo esercizio, nella risoluzione all'indietro, l'unico tipo di divisione che si fa è una divisione per il termine h, perciò questo significa che qualunque cosa otterrai dopo svolgendo i calcoli sarà sempre vero MA escludendo il caso $h=0$.
Potrai perciò dire: "il sistema dato ha sempre un'unica soluzione per h e k fissati, escludendo dall'analisi appena fatta il caso $h=0$, caso che ora analizzeremo"
NON potrai dire: "il sistema dato ha sempre un'unica soluzione per h e k fissati, tranne che per $h=0$, caso che ora analizzeremo"
La sottile differenza è dovuta al fatto che PUO' capitare che tu giungi ad una conclusione escludendo un caso ma poi, trattando questo caso separatamente, ti accorgi che anche per quest'ultimo vale la medesima conclusione: il fatto che tu escludi quel caso non significa che la conclusione a cui sei giunto scartando tale caso non sia vera ANCHE per il caso non trattato!
Nel tuo esercizio, perciò resta solo da vedere che succede quando $h=0$...
come si migliora? se non l'esperienza, a volte può bastare il provare a sottrarre convenientemente una riga (a) da un'altra (b) e, se il risultato (b-a) è una riga più semplice, basta sostituirla ad una delle due righe di partenza (la riga a oppure la b); ovviamente la riga da sostituire con la (b-a) dovrà essere la più complicata tra la a e la b, dove per riga più complicata si intende, qualora compaiano parametri come h e k, la riga che contiene non solo tali parametri ma anche (eventualmente) delle combinazioni tra i parametri.
In tutto ciò, l'imperativo deve essere quello di non distruggere la forma triangolare a cui si è pervenuti e ricorda bene che è sempre lecito scambiare tra di loro le righe!
Ritornando al nostro caso tu puoi sottrarre dalla seconda riga la terza riga, ottenendo la riga più semplice $(0, -h, 1, 0)$ ; a questo punto sostituisci tale semplice riga al posto della seconda, sia perchè è la più complessa delle due e sia perchè è l'unica possibilità che hai per non distruggere la forma triangolare precedentemente ottenuta.
Una volta che hai fatto ciò, esattamente come si passa da un sistema alla matrice associata, passa da questa matrice ridotta con gauss al sistema: otterrai stavolta un sistema di 3 equazioni in 3 incognite con i due parametri h e k e noterai che la soluzione avviene molto velocemente con il cosiddetto "metodo di risoluzione all'indietro": ad esempio, partendo dalla equazione corrispondente alla terza riga, da essa otterrai $z=(-1+h-k)/h$, sostituisci perciò questo "valore" di z nella seconda equazione e otterrai il "valore" di y (ossia y in funzione di h e k) e, infine, sostituendo sia il "valore" di z che il "valore" di y nella prima equazione otterrai il "valore" di x.
A questo punto bisogna tirare un luuungo respiro e non concludere frettolosamente che si è giunti alla soluzione dell'esercizio!
E' vero, puoi dire che il sistema dato ha un'unica soluzione, fissati dei valori numerici per i parametri h e k, e che tale unica soluzione ha un'espressione generale (cioè per h e k non fissati) che è $(x, y, z)=((-h^3+h(2+k)-(1+k))/(h^2), (-k-1+h)/(h^2), (-k-1+h)/h)$.
Ma è vero che puoi dirlo a patto di escludere alcuni casi e questi casi sono tutti quelli per cui hai compiuto delle divisioni per dei termini che contengono i parametri h e k: nel caso del tuo esercizio, nella risoluzione all'indietro, l'unico tipo di divisione che si fa è una divisione per il termine h, perciò questo significa che qualunque cosa otterrai dopo svolgendo i calcoli sarà sempre vero MA escludendo il caso $h=0$.
Potrai perciò dire: "il sistema dato ha sempre un'unica soluzione per h e k fissati, escludendo dall'analisi appena fatta il caso $h=0$, caso che ora analizzeremo"
NON potrai dire: "il sistema dato ha sempre un'unica soluzione per h e k fissati, tranne che per $h=0$, caso che ora analizzeremo"
La sottile differenza è dovuta al fatto che PUO' capitare che tu giungi ad una conclusione escludendo un caso ma poi, trattando questo caso separatamente, ti accorgi che anche per quest'ultimo vale la medesima conclusione: il fatto che tu escludi quel caso non significa che la conclusione a cui sei giunto scartando tale caso non sia vera ANCHE per il caso non trattato!
Nel tuo esercizio, perciò resta solo da vedere che succede quando $h=0$...
La soluzione $(x, 1-x, 0)$ la ottieni sostituendo nella matrice semplificata il valore $h=0$ e passando da tale matrice al sistema...
Grazie mille penso di aver capito tutto su questo esercizio, adesso ne faccio altri. Grazie ancora.
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