Matrice

[needmathhelp]

diagonalizzare la matrice A 3X3

-1 7 -1

0 1 0

0 15 -2

come devo procedere? x piacere aiutatemi! grazie

[geminis]

non sai proprio da dove iniziare o ,giunto a un certo punto, non sai andare avanti nel procedimento?
in generale per diagonalizzare una matrice bisogna:
-calcolare gli autovalori con la formula det(A-λI)=0
nel nostro caso λ1=-1 λ2=1 λ3=-2
-calcolare gli autovettori relativi agli autovalori con la formula (A-λI)v=0 (v e 0 sono vettori); da questa ottieni un sistema di tre equazioni in tre incognite da cui puoi ricavare le componenti del vettore considerato,assegnandogli tu dei valori purchè restino verificate le equazioni del sistema
[se ci sono autovalori uguali devi calcolare gli autovettori generalizzati,ma non ti spiego la procedura,dato che l'esercizio non rientra in questo caso]
nel nostro caso v1=(1,0,0) v2=(1,1,5) v3=(1,0,1)
-costruisci la matrice diagonalizzante U avente elementi della prima colonna uguali alle componenti del primo vettore,elementi della seconda uguali alle componenti del secondo vettore,elementi della terza uguali alle componenti del terzo vettore.
1 1 1
nel nostro caso U= 0 1 0
0 5 1
-infine devi applicare la formula: U(inversa) A U = D
cioè il prodotto tra la matrice inversa di U [che ho indicato come U(inversa)],la matrice data [A] e la matrice diagonalizzante è uguale alla forma diagonale della matrice data [che ho indicato come D]
-Insomma,il tutto si basa sul calcolo dell'inversa di U e su quest'ultima formula.

A questo punto,a seconda del tipo di matrice iniziale hai diversi casi:

1) se A è simmetrica (non è il nostro caso) la matrice A è sempre diagonalizzabile(per il teorema spettrale) cioè esiste sempre D;in questo caso devi modificare la matrice diagonalizzante U in modo da avere la matrice U* avente elementi della prima colonna uguali alle componenti del primo vettore,ciascuno diviso per la norma di v1,elementi della seconda uguali alle componenti del secondo vettore,ciascuno diviso per la norma di v2,elementi della terza uguali alle componenti del terzo vettore,ciascuno diviso per la norma di v3.
Poi applichi la formula U*(inversa) A U = D ,o meglio U*(traslata) A U = D (perchè se A è simmetrica allora U* è ortogonale,perciò U*(inversa)=U*(traslata) ) e do per scontato che sai calcolare la traslata di una matrice.
2)se A non è simmetrica, a seconda di come sono gli autovalori, puoi già sapere a priori se è diagonalizzabile.
Nel nostro caso si hanno tre autovalori reali e distinti,perciò A è diagonalizzabile.
l'unica cosa da fare prima di calcolare D (con la formula U(inversa) A U = D),è calcolare la matrice U(inversa), che stavolta però non è uguale a U(traslata) ;
per calcolare la matrice inversa bisogna sfruttare il metodo dell'eliminazione di Gauss

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 5 -1 1 0 0 1 4 -1
U I => 0 1 0 0 1 0 => 0 1 0 0 1 0 => 0 1 0 0 1 0 => 0 1 0 0 1 0 => I U(inversa)
0 5 1 0 0 1 0 0 1 0 -5 1 0 0 1 0 -5 1 0 0 1 0 -5 1

1 4 -1
così ricavi U(inversa)= 0 1 0
0 -5 1

1 4 -1 -1 7 -1 1 1 1 -1 -4 1 1 1 1 -1 0 0
perciò 0 1 0 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 = D (la matrice diagonalizzata)
0 -5 1 0 15 -2 0 5 1 0 10 -2 0 5 1 0 0 -2

[geminis]

rivedendo la mia risposta,sembra un casino...ma solo perchè è rappresentata male,per capire il tutto,dovresti far combaciare le righe di ogni matrice,altrimenti se mi mandi la tua email ti posso inviare direttamente il tutto in un file word,cosi di sicuro lo visualizzi bene!

[needmathhelp]

ti ringrazio, ho capito, mi ero impallato proprio!!grazie