\((\|\mathbf{u}\|^2-\|\mathbf{v}\|^2)^2\ge 4|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|\)?

[DavideGenova1]

Ciao a tutti! Mi chiedevo se valga in generale per ogni \(\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\) la disuguaglianza $$(\|\mathbf{u}\|^2-\|\mathbf{v}\|^2)^2\ge 4|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|.$$
Pensavo di usare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, ma non riesco a farmela tornare utile...
Qualcuno ha qualche idea su come dimostrarla, sempre che la disuguaglianza valga?
\(\infty\) grazie!!!

P.S.: La domanda me la sono posta nel contesto dello studio del metodo della regressione ortogonale, in cui ci si trova ad avere l'espressione \( (\|\mathbf{u}\|^2-\|\mathbf{v}\|^2)^2- 4\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} \) sotto radice, con \(\mathbf{u}=(x_1-\bar{x},...,x_n-\bar{x})\) (dove \(\bar{x}:=\sum_i x_i/n\)) e \(\mathbf{v}=(y_1-\bar{y},...,y_n-\bar{y})\).

[Trilogy]

Risposta rapida per vedere che la disuguaglianza non vale nel modo generale che dici: prendi $n=1$ ed $u=v=1$.

Ma comunque probabilmente i vettori che prendi in quel metodo che dici sono un po' più intelligenti. E inoltre forse c'è un segno sbagliato, perché se sotto radice hai il $+$ non hai problemi, giusto? E se ci fosse il $+$ forse la disuguaglianza dovrebbe avere un $-$ a destra, ma sarebbe ovvia. (E il modulo sopra c'è ma sotto no.)

[DavideGenova1]

Grazie, Trilogy!!! No, no, c'è il $-$, ma comunque non c'è il valore assoluto, quindi un caso si potrebbe ricondurre all'altro cambiando il segno di uno dei due vettori...