\(\mathbf{S}^1\): atlante con più di una carta

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo scritto sul Sernesi, Geometria II, che "poiché \(\mathbf{S}^1\) [la circonferenza di raggio unitario e centro \(\mathbf{0}\in\mathbb{R}^2\)] è compatta non esiste un atlante differenziabile costituito da una sola carta".
Non mi è affatto chiaro che cosa c'entri la compattezza di \(\mathbf{S}^1\) con il numero delle carte... Qualcuno sarebbe così gentile da venirmi in aiuto?
\(\infty\) grazie e buona Pasqua a tutti!!!

[DavideGenova1]

Forse, molto forse, ci sono: se \(\mathbf{S}^1\) possedesse un atlante costituito da una sola carta \((\mathbf{S}^1,\varphi)\), \(\varphi\), essendo un diffeomorfismo, sarebbe indotto da un omeomorfismo di un aperto di \(\mathbb{R}^2\) contenente \(\mathbf{S}^1\) su un aperto di \(\mathbb{R}\), in cui l'immagine \(\mathbf{S}^1\) sarebbe ancora compatta, cioè chiusa e limitata, per cui \(\varphi\) non sarebbe un diffeomorfismo, il che è assurdo.
Che ne dite?
Grazie a tutti!!!

[Paolo902]

Sì, in sostanza sì. Se per assurdo riuscissi a mettere su $\mathbb S^n$ una sola carta, allora avresti un omeomorfismo con (un aperto di) $\mathbb R^n$, il che è assurdo, visto che uno spazio è compatto e l'altro no.

[DavideGenova1]

$\infty$ grazie per la risposta, Paolo!