[Matematica] Autovalori e Autovettori.

[Formulario]

$ ((1,2,-1),(2,4,-2),(-1,-2,1))$
Determinare autovalori e autovettori.
Io procedo come segue calcolo gli autovalori:
λ1,2=0;λ3=6
Da cui successivamente mi calcolo gli autovettori:
Per λ3=6 ottengo n11=-0,408 ; n12=-0,816 ; n13=0,408
Per λ1=0
$ ((1,2,-1),(2,4,-2),(-1,-2,1))*((n1),(n2),(n3))=0$
Ottengo:
$\{(n1 + 2n2 -n3 = 0),(2n1 + 4n2 -2n3= 0),(-n1 -2n2 + n3 = 0):}$
Risolvo il sistema e ottengo:
$\{(0 = 0),(0 = 0),(n1 = n3 - 2n2):}$
Quindi n3=k ; n2=T
$(K-2T)^2+K^2+T^2=1$
Ottengo:
$K1,2 = \frac{4T \pm \sqrt{-24T^2 + 8}}{4}$
Risolvo l'eq. Con l'incognita K e mi viene un valore complesso per T=1
In cosa sbaglio i risultati con il calcolatore sono differenti

[xdom="gugo82"]Sezione sbagliata; sposto.[/xdom]

[Formulario]

Up

[giuscri]

A parte che ho capito ben poco del resto, ma ...che hai fatto qui?

"Formulario":$\{(0 = 0),(0 = 0),(n1 = n3 - 2n2):}$
Quindi n3=k ; n2=T
$(K-2T)^2+K^2+T^2=1$
Ottengo:
$K1,2 = \frac{4T \pm \sqrt{-24T^2 + 8}}{4}$
Risolvo l'eq. Con l'incognita K e mi viene un valore complesso per T=1

A me pare che risolvendo il sistema vai a trovare, come informazione, che l'autospazio relativo a \( \lambda = 0 \) e' bi-dimensionale ed e' generato da
\[ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \; \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \]

[jitter1]

"Formulario":$ ((1,2,-1),(2,4,-2),(-1,-2,1)) $
Determinare autovalori e autovettori.
Io procedo come segue calcolo gli autovalori:
λ1,2=0;λ3=6
Da cui successivamente mi calcolo gli autovettori:
Per λ3=6 ottengo n11=-0,408 ; n12=-0,816 ; n13=0,408
Per λ1=0
$ ((1,2,-1),(2,4,-2),(-1,-2,1))*((n1),(n2),(n3))=0 $
Ottengo:
$ \{(n1 + 2n2 -n3 = 0),(2n1 + 4n2 -2n3= 0),(-n1 -2n2 + n3 = 0):} $
Risolvo il sistema e ottengo:
$ \{(0 = 0),(0 = 0),(n1 = n3 - 2n2):} $

Fino a qui ci sono, poi non ho capito. Farei:

Dal sistema trovato concluderei:
Autospazio relativo all'autovalore 0: <(1,0,-1),(0,1,2)>.

Per quello relativo all'autovalore 6, la matrice è:

$ ((-5, 2, -1),(2, -2,-2),(-1,-2,-5))$

[...] ometto i calcoli

autospazio: <(1,2,-1)>.


"Per λ3=6 ottengo n11=-0,408 ; n12=-0,816 ; n13=0,408"
Qui non mi ritrovo: cosa sono n11...?

ciao

x giusti: ci siamo incrociati.. beh, posto anch'io

[Formulario]

Mi spiegate come trovate questi valori \[ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \; \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \] ?

[Formulario]

Dopo uno ha 1 e l'altro -1

[giuscri]

"Formulario":Dopo uno ha 1 e l'altro -1

... eh?

[Formulario]

Tu hai 1,0,1 e jittern 1,0,-1

[Formulario]

Io dovrei trovare le direzioni principali (autovettori) e le tensioni principali,(autovalori) per determinare i cerchi di mohr.
Con il calcolatore ottengo questo
$[(-0.9128,0.4082,0.0047),(0.3651,0.8165,0.4453),(-0.1826,-0.4082,0.8954)]$

[Formulario]

Come potete notare la seconda colonna coincide con quella trovata da me per lambda=6 solo cambiata di segno

[giuscri]

EDIT: mi scuso per i conti sbagliati nel precedente messaggio. Ad ogni modo, ho posto l'accento sui concetti adesso; cosi' che avessi risbagliato i conti ...chissene.

...guarda che puoi anche rieditare il messaggio, invece di scrivere post uno in fila all'altro.

Comunque: con il calcolatore ottieni quel risultato ...che e' una matrice! Non stavi cercando gli autovalori? E poi come, che procedura utilizzi per il calcolo?
Per quello, e' piu' consona la sezione di informatica --ma se vuoi sparare qualcosa qui, gia' che ci siamo, puoi provare.

Ad ogni modo, partiamo dagli autovettori relativi a \( \lambda = 0 \), cioe' quei vettori di \( \mathbb{K}^3 \) che vengono mandati zero volte in loro stessi. Quindi, se
\[ A:= \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \]
ti interessa trovare i vettori \( \mathbf{x} \) tali che
\[ A \mathbf{x} = 0 \cdot \mathbf{x} \equiv \mathbf{0} \]
cioe' trovare una tripletta \( x_1, x_2, x_3 \) tale che
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Conosci l'algoritmo di eliminazione di Gauss ...? Tipicamente si usa quello. Comunque, se non lo conosci, va' avanti come dici tu, cioe'
\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \\ \ldots \\ \ldots \end{cases} \]
trovando un'unica informazione:
\[ x_1 = x_3 - 2x_2 \]
Questo significa: i valori di \( x_2 \) e di \( x_3 \) puoi sceglierli come vuoi, ma una volta fissati, \( x_1 \) si autoforma.

Quindi, se scegli \( x_2 \equiv 1 \) e \( x_3 \equiv 0 \), allora il valore di \( x_1 \) e' gia' determinato dal destino:
\[ \begin{bmatrix} \cdot \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Ora, dall'espressione del generico autovettore
\[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} x_3 - 2 x_2 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \]
capisci che l'autospazio e' lo span di soli due vettori. Infatti, se ogni oggetto dell'autospazio lo puoi scrivere come sopra, lo potrai scrivere come
\[ x_2 \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot x_3 \]
cioe'
\[ V_0 = \left\langle \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} , \, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\rangle \]

[Formulario]

"giuscri":A parte che ho capito ben poco del resto, ma ...che hai fatto qui?
[quote="Formulario"]$\{(0 = 0),(0 = 0),(n1 = n3 - 2n2):}$
Quindi n3=k ; n2=T
$(K-2T)^2+K^2+T^2=1$
Ottengo:
$K1,2 = \frac{4T \pm \sqrt{-24T^2 + 8}}{4}$
Risolvo l'eq. Con l'incognita K e mi viene un valore complesso per T=1

A me pare che risolvendo il sistema vai a trovare, come informazione, che l'autospazio relativo a \( \lambda = 0 \) e' bi-dimensionale ed e' generato da
\[ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \; \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \][/quote]
$(K-2T)^2+K^2+T^2=1$
Sono le normali ovvero
$n1^2+n2^2+n3^2=1$
Ovvero le tre direzioni che mi danno come risultato 1
Il vostro metodo mi è chiaro ma non è consono al mio problema

[Formulario]

Dovrei ottenere questo:

[Formulario]

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