[MATDISCRETA] Ricerca classi
Ragazzi perdonate il disturbo, ma magari qualcuno di voi riesce a darmi un consiglio su come affrontare l'esercizio 7 linkato. Naturalmente conosco gli argomenti e ho compreso cosa mi è richiesto, ma purtroppo non mi viene in mente che procedimento adottare per trovare le classi richieste ammesso sigma sia un'equivalenza...
Grazie oo in anticipo!
http://astrohp.altervista.org/gallery/index.php?display=Etc%2Fschermata8.jpg
Grazie oo in anticipo!
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Risposte
Dai ragazzi... almeno ditemi che non mi rispondete perché è un esercizio molto stupido.... 
Update... dai ragazzi possibile che nessuno riesca a darmi una dritta su come comportarmi con questo esercizio (7) ? 
Nel caso tu non sappia cosa sia un anello, puoi fare così:
1) Dimostri che $a sim b$ se e solo se esiste $u in ZZ-(2ZZ cup 7ZZ)$ tale che $b equiv_{14} au$ (cioè che non è necessario richiedere anche $a equiv_{14} bv$, essendo ciò automatico). Per fare questo utilizzi l'algoritmo di Euclide applicato a $u$ e a 14.
2) Dimostri, utilizzando pesantemente 1), che la classe di un elemento $a$ è esattamente $\{a*u\ mod(14)\ |\ u \in ZZ-(2ZZ cup 7ZZ)\}$.
3) Servendoti di 2) calcoli le classi dei vari elementi moltiplicandoli successivamente per tutti gli elementi di $ZZ-(2ZZ cup 7ZZ)$ (ti puoi restringere alle loro classi modulo 14).
Altrimenti, se sai cos'è un anello, la vita è più bella
: $ZZ_{14}$ è un anello. Il punto 1) qui sopra diviene facile in quanto se $b=au$ in $ZZ_{14}$ allora $a=bu^{-1}$. Inoltre puoi osservare che $a sim b$ se e solo se $a$ e $b$ generano lo stesso ideale principale di $ZZ_{14}$, ovvero $(a)=(b)$. Quindi ti convinci facilmente di 2) e di conseguenza 3) assume senso.
Ti scrivo le varie classi e l'insieme quoziente:
$[1]_{sim} = \{1,3,5,9,11,13\}$
$[7]_{sim} = \{7\}$
$[14]_{sim}=\{14\}$
$[2]_{sim} = \{2,4,6,8,10,12\}$
Quindi l'insieme quoziente è $\{[14]_{sim},[1]_{sim},[2]_{sim},[7]_{sim}\}$, di ordine 4.
1) Dimostri che $a sim b$ se e solo se esiste $u in ZZ-(2ZZ cup 7ZZ)$ tale che $b equiv_{14} au$ (cioè che non è necessario richiedere anche $a equiv_{14} bv$, essendo ciò automatico). Per fare questo utilizzi l'algoritmo di Euclide applicato a $u$ e a 14.
2) Dimostri, utilizzando pesantemente 1), che la classe di un elemento $a$ è esattamente $\{a*u\ mod(14)\ |\ u \in ZZ-(2ZZ cup 7ZZ)\}$.
3) Servendoti di 2) calcoli le classi dei vari elementi moltiplicandoli successivamente per tutti gli elementi di $ZZ-(2ZZ cup 7ZZ)$ (ti puoi restringere alle loro classi modulo 14).
Altrimenti, se sai cos'è un anello, la vita è più bella
: $ZZ_{14}$ è un anello. Il punto 1) qui sopra diviene facile in quanto se $b=au$ in $ZZ_{14}$ allora $a=bu^{-1}$. Inoltre puoi osservare che $a sim b$ se e solo se $a$ e $b$ generano lo stesso ideale principale di $ZZ_{14}$, ovvero $(a)=(b)$. Quindi ti convinci facilmente di 2) e di conseguenza 3) assume senso.Ti scrivo le varie classi e l'insieme quoziente:
$[1]_{sim} = \{1,3,5,9,11,13\}$
$[7]_{sim} = \{7\}$
$[14]_{sim}=\{14\}$
$[2]_{sim} = \{2,4,6,8,10,12\}$
Quindi l'insieme quoziente è $\{[14]_{sim},[1]_{sim},[2]_{sim},[7]_{sim}\}$, di ordine 4.
Sei un Grande! Grazie infinite per la risposta!
Ho provato a calcolare le classi secondo questo metodo e ho trovato proprio quelle che mi hai segnalato tu.
a equiv_{14} bu se e solo se b equiv_{14} a(u^-1) . Allora ho preso la piu' piccola classe mod14 invertibile e cioè [3] (che ha come inverso [5]) e
ho posto u^-1=3 nell'equazione a(u^-1) equiv_{14} b . Quindi a[3] equiv_{14} b equivalente alla 3a + 14y = b
Ho quindi trovato la coppia (a, y) che risolve questa equazione per b=1 e cioè
3[5] + 14[-1] = 1 (*)
e pertanto ho iniziato col trovare che 1 è congruo a 5. Poi ho moltiplicato la (*) per i ciascuno degli altri elementi di S={1,2,3,...,14} trovando che
3[10] + 14[-2] = 2 ( 2 è congruo a 10)
3[15] + 14[-3] = 3 ( 3 è congruo a 1 )
.......................................................
3[70] + 14[-14] = 14 (14 congruo a 14)
trovando proprio le classi che mi hai gentilmente scritto tu.
Insomma... ho fatto quanto mi avevi consigliato circa l'utilizzo di Euclide o dovevo farne un uso diverso?
ciao!
Ho provato a calcolare le classi secondo questo metodo e ho trovato proprio quelle che mi hai segnalato tu.
a equiv_{14} bu se e solo se b equiv_{14} a(u^-1) . Allora ho preso la piu' piccola classe mod14 invertibile e cioè [3] (che ha come inverso [5]) e
ho posto u^-1=3 nell'equazione a(u^-1) equiv_{14} b . Quindi a[3] equiv_{14} b equivalente alla 3a + 14y = b
Ho quindi trovato la coppia (a, y) che risolve questa equazione per b=1 e cioè
3[5] + 14[-1] = 1 (*)
e pertanto ho iniziato col trovare che 1 è congruo a 5. Poi ho moltiplicato la (*) per i ciascuno degli altri elementi di S={1,2,3,...,14} trovando che
3[10] + 14[-2] = 2 ( 2 è congruo a 10)
3[15] + 14[-3] = 3 ( 3 è congruo a 1 )
.......................................................
3[70] + 14[-14] = 14 (14 congruo a 14)
trovando proprio le classi che mi hai gentilmente scritto tu.
Insomma... ho fatto quanto mi avevi consigliato circa l'utilizzo di Euclide o dovevo farne un uso diverso?
ciao!
Il tuo procedimento va molto bene.
Io ti consigliavo di usare Euclide per dimostrare il mio punto 1): ovvero che se $a equiv_{14} bu$ con $u$ coprimo con 14 allora esiste $v$ coprimo con 14 tale che $b \equiv_{14} av$. Per fare questo osservi che poiché u e 14 sono coprimi esiste una loro combinazione lineare intera che produce 1: $ux+14y=1$ con $x,y in ZZ$ (e questo grazie all'algoritmo di Euclide). Allora poni $v=x$. Naturalmente v e 14 sono coprimi in quanto esiste una loro combinazione lineare intera che produce 1 (la stessa di prima, ma 'letta' in modo diverso!). Inoltre è evidente che $uv \equiv_{14} 1$, e quindi $av \equiv_{14} buv \equiv_{14} b$.
In sostanza l'algoritmo di Euclide ti serve a mostrare che un intero $x$ è invertibile modulo un intero $n$ se e solo se x è coprimo con n.
Io ti consigliavo di usare Euclide per dimostrare il mio punto 1): ovvero che se $a equiv_{14} bu$ con $u$ coprimo con 14 allora esiste $v$ coprimo con 14 tale che $b \equiv_{14} av$. Per fare questo osservi che poiché u e 14 sono coprimi esiste una loro combinazione lineare intera che produce 1: $ux+14y=1$ con $x,y in ZZ$ (e questo grazie all'algoritmo di Euclide). Allora poni $v=x$. Naturalmente v e 14 sono coprimi in quanto esiste una loro combinazione lineare intera che produce 1 (la stessa di prima, ma 'letta' in modo diverso!). Inoltre è evidente che $uv \equiv_{14} 1$, e quindi $av \equiv_{14} buv \equiv_{14} b$.
In sostanza l'algoritmo di Euclide ti serve a mostrare che un intero $x$ è invertibile modulo un intero $n$ se e solo se x è coprimo con n.
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