Ma questi sottospazi come li dimostro
Ciao a tutti vi chiedo un aiuto poichè sto incontrando serie difficolta a risolvre questo tipo di esercizi.
Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali e in caso affermativo determinarne la dimensione ed una base:
W1 = [ (1,0,-1,-1) (1,0,1,1) (0,1,1,0) (2,0,0,1)] in R4
W2= L((0,0,0) (1,1,1) (2,2,2)) in R3
W3= [ (x,y,z,t,s): x-y-z=s=0] in R5
W4= [ (x,y,z,t): x^2=y; z+s=0] in R4
premesso che da quello che ne so io il quarto si vede subito che non è sottospazio a causa della x elevata al quadrato, ma come si risolvono gli altri mi riferisco ai passagi per dimostrare se sono o meno sottospazi.
Ringrazio chiunque si interessi alla rispota.
Non vorrei affliggervi con queste domande ma non ho trovato neanche un esercizio svolto. Mi riferisco alla parte in cui un sottospazio è definito con dei valori (ennuple credo) precisi nei vettori .
Grazie
Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali e in caso affermativo determinarne la dimensione ed una base:
W1 = [ (1,0,-1,-1) (1,0,1,1) (0,1,1,0) (2,0,0,1)] in R4
W2= L((0,0,0) (1,1,1) (2,2,2)) in R3
W3= [ (x,y,z,t,s): x-y-z=s=0] in R5
W4= [ (x,y,z,t): x^2=y; z+s=0] in R4
premesso che da quello che ne so io il quarto si vede subito che non è sottospazio a causa della x elevata al quadrato, ma come si risolvono gli altri mi riferisco ai passagi per dimostrare se sono o meno sottospazi.
Ringrazio chiunque si interessi alla rispota.
Non vorrei affliggervi con queste domande ma non ho trovato neanche un esercizio svolto. Mi riferisco alla parte in cui un sottospazio è definito con dei valori (ennuple credo) precisi nei vettori .
Grazie
Risposte
Le domande che devi porti sono:
- contiene il vettore nullo?
- se sommo due qualsiasi elementi, la somma sta ancora dentro al sottospazio?
- se moltiplico un qualunque elemento per una qualunque costante (reale in questo caso, sono tutti spazi di R), ottengo ancora un elemento del sottospazio?
Se *tutte* le risposte sono SI, è un sottospazio (o spazio ) vettoriale.
Ora prova a vedere se riesci e in caso negativo dimmi dove ti blocchi esattamente.
Paola
- contiene il vettore nullo?
- se sommo due qualsiasi elementi, la somma sta ancora dentro al sottospazio?
- se moltiplico un qualunque elemento per una qualunque costante (reale in questo caso, sono tutti spazi di R), ottengo ancora un elemento del sottospazio?
Se *tutte* le risposte sono SI, è un sottospazio (o spazio ) vettoriale.
Ora prova a vedere se riesci e in caso negativo dimmi dove ti blocchi esattamente.
Paola
"prime_number":
Le domande che devi porti sono:
- contiene il vettore nullo?
- se sommo due qualsiasi elementi, la somma sta ancora dentro al sottospazio?
- se moltiplico un qualunque elemento per una qualunque costante (reale in questo caso, sono tutti spazi di R), ottengo ancora un elemento del sottospazio?
Se *tutte* le risposte sono SI, è un sottospazio (o spazio ) vettoriale.
Ora prova a vedere se riesci e in caso negativo dimmi dove ti blocchi esattamente.
Paola
Ciao Paola intanto grazie
Ora ti spiego dove mi blocco.
Prendiamo ad esempio W1 per controllare se contiene il vettore nullo (0,0,0,0)
io ne faccio la combinazione lineare
a(1,0,-1,-1)+b(1,0,1,1)+c(0,1,1,0)+d(2,0,0,1)=(0,0,0,0)
Risolvo il sitema omogeneo e poichè è compatibile e ammette la soluzione banale per come la vedo io il vettore nullo è contenuto
Per controllare se è chiuso rispetto alla somma prendo due vettori di W1 ne faccio la somma, ad esempio il primo più il secondo che sarà il vettore (2,0,0,0) e risolvo il sist ma lineare
a(1,0,-1,-1)+b(1,0,1,1)+c(0,1,1,0)+d(2,0,0,1)=(2,0,0,0)
Sistema compatibile determinato ammette una e una sola soluzione è chiuso rispetto alla somma.
Per controllare se è chiuso rispetto alla moltiplicazione prendo un vettore di W1 lo moltiplico per un valore k appartenente a R ad sempio primo che sarà il vettore (K,0,-k,-k) e risolvo il siste ma lineare
a(1,0,-1,-1)+b(1,0,1,1)+c(0,1,1,0)+d(2,0,0,1)=(K,0,-k,-k)
Sistema compatibile determinato ammette una e una sola soluzione è chiuso rispetto alla moltiplicazione.
W1 è sottospazio.
Il mio dubbio è nel fatto se devo controllare l'apartenenza del vettore nullo la somma e la moltiplicazione solo nei 4 vettori che compongono W1. Mi spiego meglio
Il vettore nullo non è nessuno dei 4 vettori di W1 (come ad esempio lo è per W2) per cui non è contenuto in W1
Il vettore somma del primo più il secondo (2,0,0,0) non è nessuno dei 4 vettori di W1 per cui W1 non è chiuso rispetto all'operazione di somma
Il vettore (6,0,-6,-6) dato dal prodotto di k=6 e il primo vettore non è pari a nessuno dei 4 vettori che compongono W1 per cui non è chiuso rispetoo alla moltiplicazione.
Premesso che so che è ognuna delle condizioni che no si verifica è suffiente a non definire W1 come sottospazio l'ho scritto solo per rendere un po più chiara a voi la confusione che ho in questo momento in testa.
Quale dei due procedimenti è quello giusto
Voglio vedere questi sottospazi.
Ti chiedo una precisazione: quando usi le quadre ($W_1=[ ... ]$) intendi lo spazio generato da quei vettori oppure $W_1$ contiene solo i vettori elencati?
Paola
Paola
Allora per essere giustamnte preciso l'esercizio porta le graffe ma non sapendole inserire ho usato le quadre. Per cui penso che intenda solo i vettori elencati.
Altra precisazione fondamentale nel caso di W2 l'esrcizio indica (infatti sono andato a correggere quello che avevo erronamente scritto )
W2= L((0,0,0) (1,1,1) (2,2,2)) in R3
Dove credo che si tratti di generatori
Grazie
Altra precisazione fondamentale nel caso di W2 l'esrcizio indica (infatti sono andato a correggere quello che avevo erronamente scritto )
W2= L((0,0,0) (1,1,1) (2,2,2)) in R3
Dove credo che si tratti di generatori
Grazie
Se $W_1$ è un elenco ci son pochi sistemi da risolvere, il vettore nullo non c'è.
Nel caso di $W_2$, esso è lo spazio vettoriale su $\mathbb{R}$ generato dal vettore $v=(1,1,1,1)$, cioè contiene $\lambda \cdot v \forall \lambda\in\mathbb{R}$
- $0\cdot v = 0$ allora $0\in V$
- Presi $w=(a,a,a,a), t=(b,b,b,b)$ si vede subito che $w+t\in W_2$ e anche che $\lambda\cdot w\in W_2$ per ogni reale $\lambda$.
Penso che la $L$ stia per "lo spazio generato dai vettori...". In quel caso hai che l'insieme è uno spazio vettoriale per definizione!
Paola
Nel caso di $W_2$, esso è lo spazio vettoriale su $\mathbb{R}$ generato dal vettore $v=(1,1,1,1)$, cioè contiene $\lambda \cdot v \forall \lambda\in\mathbb{R}$
- $0\cdot v = 0$ allora $0\in V$
- Presi $w=(a,a,a,a), t=(b,b,b,b)$ si vede subito che $w+t\in W_2$ e anche che $\lambda\cdot w\in W_2$ per ogni reale $\lambda$.
Penso che la $L$ stia per "lo spazio generato dai vettori...". In quel caso hai che l'insieme è uno spazio vettoriale per definizione!
Paola
"prime_number":
Penso che la $L$ stia per "lo spazio generato dai vettori...". In quel caso hai che l'insieme è uno spazio vettoriale per definizione!
Paola
Ma nel caso di
W2= L((0,0,0) (1,1,1) (2,2,2)) in R3
La dimensione di un sottospazio generato da n vettori è al più n, ed è proprio n se e solo se questi sono indipendenti. Ma i tre vettori sono tutti dipendenti e la loro dimensione è pari a 1 è corretto dire che sono un sottospazio per definizione ma avendo dimensione 1 generano una retta. Sono quindi sottospazio solo per R o lo sono anche per R3?
O poichè lo spazio di R è un sottospazio di R2 e di R3 è comunque corretto?
In più mi viene richiesta oltre la dimensione anche la base, la dimensione è chiaramente 1 la base è per esempio (1,1,1)?
Come hai detto tu $dim (W_2)=1$. Il fatto che abbia dimensione 1 non deve farti pensare che sia un sottospazio di $\mathbb{R}$! Infatti i vettori di $W_2$ hanno 3 componenti, quindi sei in $\mathbb{R}^3$. Semplicemente $W_2$ sarà una retta nello spazio 3-dimensionale.
Riguardo alla base, avendo lo spazio dimensione $1$ puoi scegliere un qualunque suo vettore (non nullo), per cui $(1,1,1)$ va bene.
(dico che puoi scegliere un qualunque suo vettore per il seguente motivo: se consideriamo un qualunque $v=(a,a,a)\in W_2$, avremo che il sottospazio generato da $a$ avrà dimensione 1 e sarà incluso in $W_2$, quindi necessariamente dovrà essere $W_2$ stesso, dato che anche quest'ultimo ha dimensione 1)
Paola
Riguardo alla base, avendo lo spazio dimensione $1$ puoi scegliere un qualunque suo vettore (non nullo), per cui $(1,1,1)$ va bene.
(dico che puoi scegliere un qualunque suo vettore per il seguente motivo: se consideriamo un qualunque $v=(a,a,a)\in W_2$, avremo che il sottospazio generato da $a$ avrà dimensione 1 e sarà incluso in $W_2$, quindi necessariamente dovrà essere $W_2$ stesso, dato che anche quest'ultimo ha dimensione 1)
Paola
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