Luogo punti delle rette che si appoggiano a tre rt sghembe
Ciao,
siamo in [tex]E_3(R)[/tex] e l'esercizio chiede di trovare il luogo dei punti delle rette che si apoggiano a tutte e tre le rette (in precedenza si trova che sono a due a due sghembe).
Le rette sono:
[tex]a: x-1=0=y+z ; b: x=0=z-1 ; c: x+y=0=2x+2y+z-2[/tex]
Ora per trovare il luogo interseco il piano generato da b e passante per il generico punto di A che chiamo [tex]A_t[/tex] con il piano generato da c e passante per [tex]A_t[/tex].
I due piani sono rispettivamente:
[tex]\pi_1 : x(t+1) + z - 1 = 0 \ \ \ \pi_2 : x(t+2) + y(t+2) + z(t+1) -2 -2t = 0[/tex]
L'equazione che ottengo per il luogo è
[tex]L: x^2 - z^2 + xy - zx - y + 3z + x - 2 = 0[/tex]
Ora se volessi classificarlo dovrei calcolare il rango della matrice che lo rappresenta (4 e det>0) e della matrice incompleta (3). Quindi devo stabilire la segnatura dell'incompleta che però mi risulta (1,1).
Quindi, la domanda è: sapete dirmi se il procedimento è corretto (e se eventualmente c'è un errore di conto)?
Grazie in anticipo,
Ely
siamo in [tex]E_3(R)[/tex] e l'esercizio chiede di trovare il luogo dei punti delle rette che si apoggiano a tutte e tre le rette (in precedenza si trova che sono a due a due sghembe).
Le rette sono:
[tex]a: x-1=0=y+z ; b: x=0=z-1 ; c: x+y=0=2x+2y+z-2[/tex]
Ora per trovare il luogo interseco il piano generato da b e passante per il generico punto di A che chiamo [tex]A_t[/tex] con il piano generato da c e passante per [tex]A_t[/tex].
I due piani sono rispettivamente:
[tex]\pi_1 : x(t+1) + z - 1 = 0 \ \ \ \pi_2 : x(t+2) + y(t+2) + z(t+1) -2 -2t = 0[/tex]
L'equazione che ottengo per il luogo è
[tex]L: x^2 - z^2 + xy - zx - y + 3z + x - 2 = 0[/tex]
Ora se volessi classificarlo dovrei calcolare il rango della matrice che lo rappresenta (4 e det>0) e della matrice incompleta (3). Quindi devo stabilire la segnatura dell'incompleta che però mi risulta (1,1).
Quindi, la domanda è: sapete dirmi se il procedimento è corretto (e se eventualmente c'è un errore di conto)?
Grazie in anticipo,
Ely
Risposte
Il procedimento mi sembra corretto.
Mi spiace se non controllo i conti, ma sono troppo pigro per farlo
E' sabato e anche i matematici si riposano
Mi spiace se non controllo i conti, ma sono troppo pigro per farlo
E' sabato e anche i matematici si riposano
Ok, grazie.
I fisici invece lavorano anche nel week-end ...
forse ho sbagliato ad applicare Cartesio per la segnatura, perché altrimenti se il mio luogo è giusto è inclassificabile. Potresti controllare solo quest'ultima cosa?
Grazie
(anche Lunedì)
I fisici invece lavorano anche nel week-end ...
forse ho sbagliato ad applicare Cartesio per la segnatura, perché altrimenti se il mio luogo è giusto è inclassificabile. Potresti controllare solo quest'ultima cosa?
Grazie
(anche Lunedì)
Dunque, vediamo un po'. Mi tocca lavorare anche di sabato...
La matrice associata alla quadrica [tex]L: 2x^2 - 2z^2 + 2xy - 2zx - 2y + 6z + 2x - 4 = 0[/tex] (homoltiplicato il primo membro per $2$ per togliermi dai piedi le frazione) è $A=((2,1,-1,1),(1,0,0,-1),(-1,0,-2,3),(1,-1,3,-4)) $ con rango 4, $det(A)=4$.
Ora se la memoria non mi inganna, dovresti valutare la segnatura della matrice $B=((2,1,-1),(1,0,0),(-1,0,-2))$. Tale matrice (simmetrica e quindi diagonalizzabile) ha rango $3$ e polinomio caratteristico $p(lambda)=-lambda^3+6lambda+2$.
Ora, se non ho capito male, vuoi determinare il segno degli autovalori (ovvero delle radici di $p(lambda)$) mediante la regola di Cartesio. Giusto?
Il problema è che come dice chiaramente Wiki:
Quindi non puoi applicare la regola di Cartesio per stabilire il segno delle radici (ovvero degli autovalori), perchè i coefficienti non sono tutti non nulli.
Devi farlo con altre tecniche. Io ho trovato che $p(lambda)=-lambda^3+6lambda+2$ ammette due radici negative ed una positiva, quindi $B$ ha segnatura $(1,2)$.
Wolframapha mi dice che si tratta di un iperboloide ad una falda (copia-incolla il seguente url "http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2-z^2%2Bxy-zx-y%2B3z%2Bx-2%3D0").
Edit: Sistemata la svista.
La matrice associata alla quadrica [tex]L: 2x^2 - 2z^2 + 2xy - 2zx - 2y + 6z + 2x - 4 = 0[/tex] (homoltiplicato il primo membro per $2$ per togliermi dai piedi le frazione) è $A=((2,1,-1,1),(1,0,0,-1),(-1,0,-2,3),(1,-1,3,-4)) $ con rango 4, $det(A)=4$.
Ora se la memoria non mi inganna, dovresti valutare la segnatura della matrice $B=((2,1,-1),(1,0,0),(-1,0,-2))$. Tale matrice (simmetrica e quindi diagonalizzabile) ha rango $3$ e polinomio caratteristico $p(lambda)=-lambda^3+6lambda+2$.
Ora, se non ho capito male, vuoi determinare il segno degli autovalori (ovvero delle radici di $p(lambda)$) mediante la regola di Cartesio. Giusto?
Il problema è che come dice chiaramente Wiki:
"Wiki":
Sia dato un polinomio $a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$ con coefficienti $a_n,\ldots,a_0$ reali e tutti non nulli, avente $n$ radici reali. La regola di Cartesio stabilisce che:
Il numero di radici positive (contato con molteplicità) è dato dal numero di cambi di segno (variazioni) fra due coefficienti consecutivi.
Quindi non puoi applicare la regola di Cartesio per stabilire il segno delle radici (ovvero degli autovalori), perchè i coefficienti non sono tutti non nulli.
Devi farlo con altre tecniche. Io ho trovato che $p(lambda)=-lambda^3+6lambda+2$ ammette due radici negative ed una positiva, quindi $B$ ha segnatura $(1,2)$.
Wolframapha mi dice che si tratta di un iperboloide ad una falda (copia-incolla il seguente url "http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2-z^2%2Bxy-zx-y%2B3z%2Bx-2%3D0").
Edit: Sistemata la svista.
I termini quadratici non devono essere divisi per 2, [tex]a_{33}[/tex] e [tex]a_{44}[/tex] devono essere rispettivamente -2 e -4.
(nella matrice [tex]A[/tex])
(nella matrice [tex]A[/tex])
Sì, lo so hai ragione, ho sbagliato. Dammi qualche minuto e modifico il mio post.
Ok, ora sì.
il polinomio è lo stesso che avevo io. Due radici negative e una positiva -> (1,2).
Non ricordavo la condizione di Cartesio!
Grazie mille,
Ely
il polinomio è lo stesso che avevo io. Due radici negative e una positiva -> (1,2).
Non ricordavo la condizione di Cartesio!
Grazie mille,
Ely
Lieto di esserti stato utile...
Buono Studio!
Buono Studio!
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