Luogo delle rette che si appoggiano a du rette sghembe

[nato_pigro1]

Sapete consigliarmi un procedimento?

Sono in $P^3$, ho due rette sghembe. Devo trovare il luogo formato delle rette che intersecano le due rette date...

[j18eos]

O Dio, ho la dimostrazione sul quaderno, potrei riportarlo in .pdf e mandartelo per e-mail; la soluzione è:

I) fossero sghembe con un medesimo piano si avrebbe un paraboloide iperbolico;

II) fossero non sghembe con un medesimo piano si avrebbe un iperboloide iperbolico.

EDIT: Scemenze della domenica mattina (non farò più il forum di domenica )! Le rette incidenti 3 rette, sghembe a coppie, soddisfano quanto ho scritto di sopra!

[j18eos]

Le rette incidenti una coppia di rette sghembe coprono l'intero spazio proiettivo (ma anche affine) perché da ogni punto [tex]P\in r[/tex] congiunto con ogni punto di [tex]s[/tex] determina il piano [tex]$\langle P;s\rangle$[/tex], quindi il luogo ricercato è unione di tali piani incidenti entrambe (le rette); ma non esiste un piano in [tex]\mathbb{P}^3[/tex] sghembo con una generica retta e quindi l'asserto.

[nato_pigro1]

non è questo quello che cercavo....

altre idee?

[j18eos]

Ma allora cosa cerchi? La risposta con giustificazione te l'ho data, no

[dissonance]

"j18eos":Le rette incidenti una coppia di rette sghembe coprono l'intero spazio proiettivo (ma anche affine)

Ma questo è falso. j18eos, per favore, prima di scrivere rifletti bene su quello che dici. [EDIT]Invece è vero. Quello che deve riflettere prima di scrivere sono io!!! Chiedo scusa a j18eos.

[dissonance]

Secondo me ti conviene ricondurti ad un caso particolare in cui i conti sono facili e poi da lì estenderti al caso generale per mezzo di una proiettività. Supponiamo di avere $P^3$ come completamento proiettivo di $RR^3$: le coordinate cartesiane sono $x, y, z$, quelle omogenee $X_0, X_1, X_2, X_3$, il piano improprio abbia equazione $X_0=0$.

Supponiamo che le rette sghembe siano $r:{(x=1), (y=0):}, s:{(x=0), (z=0):}$ ($r:{(X_0=1), (X_1=1), (X_2=0):}, s:{(X_0=1),(X_1=0), (X_3=0):}$ in coordinate omogenee). Qui non dovrebbe essere troppo difficile calcolare esplicitamente l'equazione del luogo cercato, e poi classificarla secondo il teorema di classificazione. Infine, data una qualsiasi coppia di rette sghembe, bisognerà mostrare che esiste una proiettività che le manda in $r$ ed $s$.

Solo un'idea

[legendre]

Forse non ho ben capito quello che vuoi:cioe' un fascio di rette o un altro luogo geometrico.Se e' una retta esmpio farei cosi':
se ho 2 rette sghembe $r: x=y=z$ e $s: x=2z+1,y=-z+2$ i punti della r sono individuati da $(t,t,t)$ quelli di s da $(2t+1,-t+2,t)$.
la retta che li congiunge ha quindi parametri direttori dati dalla differenza delle loro coordinate cioe'$(t+1,2,0)$

[j18eos]

Scusate ma io ho ragionato ed il ragionamento l'ho anche messo nel forum; se non vi trovate col mio ragionamento ditemi l'errore del mio ragionamento!
Io ragiono (eccetto dal sabato dopo le 12:59 a tutta la domenica) prima di postare.

Stiamo parlando di uno spazio proiettivo 3-dimensionale su un campo?

[dissonance]

j18eos, ti devo delle scuse. Infatti hai ragione. Il luogo delle rette che intersecano due rette sghembe è tutto lo spazio proiettivo tridimensionale: nel caso affine direi di no, mancano due piani, uno contenente $r$ e l'altro contenente $s$, ma nel caso proiettivo grazie ai punti impropri si coprono pure quelli. Volendolo ripetere con un linguaggio diverso dal tuo, siano $r, s$ rette sghembe in $P^3$, e sia $P$ un punto proiettivo, $P\notin r, P\notin s$. Chiamiamo $pi$ il piano congiungente $P, r$ (è un piano e non una retta perché $P\notin r$): $pi$ è il luogo delle rette passanti per $P$ e incidenti $r$. Come conseguenza della formula di Grassmann proiettiva, questo piano interseca sicuramente la retta $s$, diciamo che $Q\in pi nn s$. La retta $PQ$ incide allora $r, s$ e contiene $P$. Quindi il luogo dei punti cercato è tutto $P^3$.

[nato_pigro1]

ok, scusa, non riuscivo a capire la tua argomentazione, j18eos...

[j18eos]

Scuse accettate; non perché sei un/a moderatore/trice!

C'ero arrivato che nel caso affine ho detto una scemenza; è vero che ho sottointeso [tex]\mathbb{P}_3(\mathbb{K})[/tex] con [tex]\mathbb{K}[/tex] campo generico e qualcuno potrebbe contestarmelo ma il ragionamento non fa una grinza e lo specifica alla fine (lo spazio ambiente) per cui è corretto, forse non è "lineare" ecco perché nato_pigro non hai capito subito: l'ho scritto di getto.

Seppoi stessimo parlando di spazi proiettivi 3-dimensionali [tex]\mathcal{P}_3[/tex] too cure (senza un campo per la coordinazione) alzo le mani e mi ritirerei.