Luogo dei punti
Sia P un punto interno ad una circonferenza C. Determinare il luogo dei punti medi delle corde passanti per P.
Risposte
Ciao,
detto O il centro del cerchio C, il luogo richiesto è la circonferenza di centro il punto medio del segmento di estremi O e P e passante per uno dei due (e, quindi, anche per l'altro).
P.S.: se P coincide con O il luogo si riduce al solo punto O, ovviamente.
detto O il centro del cerchio C, il luogo richiesto è la circonferenza di centro il punto medio del segmento di estremi O e P e passante per uno dei due (e, quindi, anche per l'altro).
P.S.: se P coincide con O il luogo si riduce al solo punto O, ovviamente.
Grazie mille! Ma ti volevo chiedere, in base a quale regola deduci che il luogo dei punti che cerco è una circonferenza e che ha diametro OP??
non c'è una regola per dedurlo...lu puoi vedere con un po' di immaginazione o ovviamente verificarlo trovando il luogo...
Provo a dare una spiegazione: non so se è corretta e attendo, quindi, delucidazioni da luluemicia.
Perché in ogni circonferenza la congiungente del centro della circonferenza con il punto medio di una corda è asse della corda in questione: ne segue che comunque vengano prese due corde, detti $M$ ed $N$ i loro punti medi gli angoli in $M$ ed $N$ sono entrambi retti e quindi uguali; la loro uguaglianza implica la conciclicità di $P$, $O$, $M$ ed $N$ ($PO$ è visto sotto angoli uguali) e il fatto che siano retti implica che $PO$ sia diametro e il suo punto medio il centro; dato un centro e un raggio la circonferenza individuata è una ed una sola: questo fa si che detto $Q$ il punto medio di una ulteriore corda, questo è conciclico con $M$ (risp. $N$) $P$ ed $O$, ma anche con $N$(risp. $M$), data l'unicità della circonferenza.
Perché in ogni circonferenza la congiungente del centro della circonferenza con il punto medio di una corda è asse della corda in questione: ne segue che comunque vengano prese due corde, detti $M$ ed $N$ i loro punti medi gli angoli in $M$ ed $N$ sono entrambi retti e quindi uguali; la loro uguaglianza implica la conciclicità di $P$, $O$, $M$ ed $N$ ($PO$ è visto sotto angoli uguali) e il fatto che siano retti implica che $PO$ sia diametro e il suo punto medio il centro; dato un centro e un raggio la circonferenza individuata è una ed una sola: questo fa si che detto $Q$ il punto medio di una ulteriore corda, questo è conciclico con $M$ (risp. $N$) $P$ ed $O$, ma anche con $N$(risp. $M$), data l'unicità della circonferenza.
Ciao,
se consideri un riferimento cartesiano con origine in O e con P di coordinate (a;0) ove a è la distanza di P da O, detta $y=m(x-a)$ l'equazione di una retta r per P (il caso della verticale è banale), il punto medio della corda che si trova su r sta anche sulla perpendicolare ad r per O che ha equaz.: $y=-x/m$. Ricavando m da una e sostituendo nell'altra si ha: $x^2+y^2-ax=0$ che prova l'asserto.
se consideri un riferimento cartesiano con origine in O e con P di coordinate (a;0) ove a è la distanza di P da O, detta $y=m(x-a)$ l'equazione di una retta r per P (il caso della verticale è banale), il punto medio della corda che si trova su r sta anche sulla perpendicolare ad r per O che ha equaz.: $y=-x/m$. Ricavando m da una e sostituendo nell'altra si ha: $x^2+y^2-ax=0$ che prova l'asserto.
Ciao WiZaRd,
la tua dim. mi pare corretta (e anche bella perchè sintetica).
la tua dim. mi pare corretta (e anche bella perchè sintetica).
Ho capito, grazie! Una cosa, che vuol dire 'conciclicità'? (credo comunque di aver afferrato il concetto 
)
)
Il fatto che l'angolo in M e l'angolo in N siano supplementari, sta ad indicare che il quadrilatero PNOM è inscrittibile ad una circonferenza...
Dire che $n$ punti sono conciclici significa che gli $n$ punti appartengono tutti ad una stessa circonferenza.
Il fatto che gli angoli in $M$ ed $N$ siano supplementari non basta per concludere che il quadrilatero $PNOM$ è inscrittibile in una circonferenza: la situazione che si configura è questa
Dopo aver "chiuso" il quadrilatero $POMN$ gli angoli in $M$ ed $N$ non sono opposti: ogni quadrilatero è inscrittibile se e solo se gli angoli opposti sono supplementari.
Ciò nonostante si può comunque provare che se un segmento è "visto" sotto angoli uguali allora gli estremi del segmento e i vertici degli angoli sono conciclici:
Per assurdo, non siano i quattro punti $A, B, D, E$ conciclici; sicuramente lo sono almeno in tre: per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza; siano $A, B, D$ questi tre punti. A questo punto o $E$ è esterno o è interno alla circonferenza: supponiamolo esterno (nulla cambia se è interno: basta prolungare il segmento $AE$ per ottenere una configurazione analoga a questa). Ne segue che il segmento $AE$ taglia la circonferenza in $C$: uniamo $C$ con $B$. Gli angoli in $C$ e $D$ sono uguali perché sottesi dallo stesso arco. Per transitività l'angolo in $C$ è uguale a quello in $E$ (per ipotesi l'angolo in $E$ eguaglia quello in $D$); a questo punto si ragggiunge una contraddizione: gli angoli $hat{ABC}$ e $hat{ABE}$ sono diversi perché il lato di uno è interno all'altro, ma per negazione della conciclicità di $A, B, D, E$ dovrebbero essere uguali, dal momento che i triangoli $ABC$ e $ABE$ hanno l'angolo in $A$ in comune e gli angoli in $E$ e $C$ uguali.
Il fatto che gli angoli in $M$ ed $N$ siano supplementari non basta per concludere che il quadrilatero $PNOM$ è inscrittibile in una circonferenza: la situazione che si configura è questa
Dopo aver "chiuso" il quadrilatero $POMN$ gli angoli in $M$ ed $N$ non sono opposti: ogni quadrilatero è inscrittibile se e solo se gli angoli opposti sono supplementari.
Ciò nonostante si può comunque provare che se un segmento è "visto" sotto angoli uguali allora gli estremi del segmento e i vertici degli angoli sono conciclici:
Per assurdo, non siano i quattro punti $A, B, D, E$ conciclici; sicuramente lo sono almeno in tre: per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza; siano $A, B, D$ questi tre punti. A questo punto o $E$ è esterno o è interno alla circonferenza: supponiamolo esterno (nulla cambia se è interno: basta prolungare il segmento $AE$ per ottenere una configurazione analoga a questa). Ne segue che il segmento $AE$ taglia la circonferenza in $C$: uniamo $C$ con $B$. Gli angoli in $C$ e $D$ sono uguali perché sottesi dallo stesso arco. Per transitività l'angolo in $C$ è uguale a quello in $E$ (per ipotesi l'angolo in $E$ eguaglia quello in $D$); a questo punto si ragggiunge una contraddizione: gli angoli $hat{ABC}$ e $hat{ABE}$ sono diversi perché il lato di uno è interno all'altro, ma per negazione della conciclicità di $A, B, D, E$ dovrebbero essere uguali, dal momento che i triangoli $ABC$ e $ABE$ hanno l'angolo in $A$ in comune e gli angoli in $E$ e $C$ uguali.
Faccio notare una curiosità.
Se prendiamo il luogo dei punti ottenuti prendendo il punto medio del segmento che ha per estremi
il punto $P$ e un punto della circonferenza otteniamo un'altra circonferenza, di raggio pari alla
metà del raggio iniziale.
Il centro di questa circonferenza coincide con il punto medio tra $P$ e il centro $C$ del cerchio,
che è anche il centro della circonferenza soluzione del luogo che avete studiato voi.
Francesco Daddi
Se prendiamo il luogo dei punti ottenuti prendendo il punto medio del segmento che ha per estremi
il punto $P$ e un punto della circonferenza otteniamo un'altra circonferenza, di raggio pari alla
metà del raggio iniziale.
Il centro di questa circonferenza coincide con il punto medio tra $P$ e il centro $C$ del cerchio,
che è anche il centro della circonferenza soluzione del luogo che avete studiato voi.
Francesco Daddi
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