Lunghezza di un arco
Trovare la lunghezza della cicloide $ Gamma $ : $ { ( X=t-Sen(t) ),( Y= 1- cos(t) ):} $ nell'intervallo t $
( ( 0 , 2pi ) ) $
Io ho trovato la derivata prima: $ Gamma { ( y'= 1- cos(t) ),( x'= 1- sen(t) ):} $
E ho fatto l'integrale $ int_(0)^(2pi ) sqrt(((1 - cos(t))^2 + (1 + sen(t))^2)dt $
Soltanto che sostituendo poi i valori 0 e 2 $ pi $ il risulato mi viene 0 e invece dovrebbe essere 8.
So che è perché è come se io calcolassi la lunghezza sempre in 0 ma come faccio a calcolarla fino a 2$ pi $?
Grazie in anticipo
**ora il testo del problema è corretto**
( ( 0 , 2pi ) ) $
Io ho trovato la derivata prima: $ Gamma { ( y'= 1- cos(t) ),( x'= 1- sen(t) ):} $
E ho fatto l'integrale $ int_(0)^(2pi ) sqrt(((1 - cos(t))^2 + (1 + sen(t))^2)dt $
Soltanto che sostituendo poi i valori 0 e 2 $ pi $ il risulato mi viene 0 e invece dovrebbe essere 8.
So che è perché è come se io calcolassi la lunghezza sempre in 0 ma come faccio a calcolarla fino a 2$ pi $?
Grazie in anticipo
**ora il testo del problema è corretto**
Risposte
C'è del disordine nelle formule ... Come hai risolto l'integrale ? Non dovrebbe venire circa $10.04$ ?
Sei sicuro che la seconda equazione parametrica non fosse $Y(t)=1-cos(t)$?
si sono sicura che dal libro il risultato sia 8.
Si hai ragione è $ 1 - cos(t) $
ma a me viene comunque 0!
sotto radice ho ottenuto $ sqrt(2[1 - cos(t)] dt $
quando sostituisco i valori 0 e 2pi ottengo $ sqrt(2(1-1) ) -sqrt(2(1-1)) = 0 $
Si hai ragione è $ 1 - cos(t) $
ma a me viene comunque 0!
sotto radice ho ottenuto $ sqrt(2[1 - cos(t)] dt $
quando sostituisco i valori 0 e 2pi ottengo $ sqrt(2(1-1) ) -sqrt(2(1-1)) = 0 $
Il risultato che ho riportato era riferito all'integrale che hai scritto sul primo post (non avevo controllato quello che avevi scritto prima). Ti dispiacerebbe correggere bene le formule del primo post? Grazie.
Non capisco quella sostituzione. Chiaramente devi prima trovare una primitiva della funzione integranda per poi poter utilizzare la formula fondamentale del calcolo. Non è difficile vedere che $ int_(0)^(2pi) sqrt(1-cos(t)) dt=4sqrt(2) $ (provaci!) da cui segue immediatamente che la lunghezza del tuo arco di cicloide è $L=4sqrt(2)*sqrt(2)=8$.
Mi starò incasinando ma non riesco ad andare oltre.
$ int_(0)^(2pi) sqrt(1 - cost ) dt $
$ u = 1 - cost $
come ricavo t seè dentro il coseno per fare la derivata prima in base a u?
$ int_(0)^(2pi) sqrt(1 - cost ) dt $
$ u = 1 - cost $
come ricavo t seè dentro il coseno per fare la derivata prima in base a u?
Per integrare per sostituzione bisogna prendere una funzione invertibile e $u$ non lo è ...
Aiutino ... la funzione integranda non ti ricorda una famosa formula goniometrica ? Se la usi, ottieni una semplificazione drastica ...
assomiglia a $ +- sqrt(1 - cos^2alpha ) $ ? ma è alla seconda.
Ok sono arrivata alla soluzione!
Ho sostituito $ u = 1- cost $ nella funzione
Grazie dell'aiuto
Ho sostituito $ u = 1- cost $ nella funzione
Grazie dell'aiuto
Intendevo la formula di bisezione ...
Come dice arrigo, in $[0,2pi]$, la tua funzione $u=u(t)$ non è invertibile. Cerca di seguire il suo suggerimento...
scusate non si può far diventare $ t = arccos(1 - u) $ ?
La tua $u$ non è invertibile, perché insisti a volerla invertire? 
perché è così che l'ho risolto e sn arrivata a 8
ad esempio qui --- viewtopic.php?f=36&t=78512
e qui --- viewtopic.php?f=36&t=110868&start=10
ad esempio qui --- viewtopic.php?f=36&t=78512
e qui --- viewtopic.php?f=36&t=110868&start=10
Allora posta il tuo procedimento, così vediamo se è corretto.
ok. sostituito $ t = arccos(1 - u) $ quindi per $ t = 0 $ $ u = 0 $ e per $ t = pi$ $ u = 2 $ quindi avrò l'integrale da 0 a 2 invece che da 0 a 2pi
La sua derivata è $ 1/( sqrt(1 - (1-u)^2))du $ cioè è dt
poi da $ d/(du) arccos(1 - u) $ = $ (f'(u))/ sqrt(1 - [f(u)]^2) $
ottengo
$ 2*sqrt(2)int_(o)^(2) (sqrt(u) )/(sqrt(1-(1-u)^2 ) ] du $ = $ 2*sqrt(2)int_(0)^(2) 1/sqrt(2 - u) du $
Ora sostituendo 0 e 2 ottengo 8
è giusto?
tu come lo risolveresti?
La sua derivata è $ 1/( sqrt(1 - (1-u)^2))du $ cioè è dt
poi da $ d/(du) arccos(1 - u) $ = $ (f'(u))/ sqrt(1 - [f(u)]^2) $
ottengo
$ 2*sqrt(2)int_(o)^(2) (sqrt(u) )/(sqrt(1-(1-u)^2 ) ] du $ = $ 2*sqrt(2)int_(0)^(2) 1/sqrt(2 - u) du $
Ora sostituendo 0 e 2 ottengo 8
è giusto?
tu come lo risolveresti?
1) se $u = 2$, allora $arccos(1-u) = arccos(-1) = \pi$.
2) cosa significa "sostituendo 0 e 2 ottengo 8"? Dove sostituisci?
2) cosa significa "sostituendo 0 e 2 ottengo 8"? Dove sostituisci?
1) se $t = pi$ allora $ u= 1 - cospi = 2$
2) svolgo l'integrale e faccio f(2) - f(0)
$ -2sqrt(2) int_(0)^(2) 2sqrt(2-u) * du $
= $-2sqrt(2)*(-2sqrt(2)) = 8 $
**correggo dx in du*** avevo sbagliato a digitare
2) svolgo l'integrale e faccio f(2) - f(0)
$ -2sqrt(2) int_(0)^(2) 2sqrt(2-u) * du $
= $-2sqrt(2)*(-2sqrt(2)) = 8 $
**correggo dx in du*** avevo sbagliato a digitare
Ribadisco. $arccos(-1) = \pi$. Il tuo primo errore è che vuoi risolvere per sostituzione usando una funzione non invertibile su tutto l'intervallo di integrazione. Poi fai quell'errore dell'arcocoseno e alla fine il risultato viene giusto.
Un procedimento che ti evita di cadere in questo pasticcio è di usare, come già ti dicevo, le formule di bisezione e semplificare drasticamente la funzione integranda.
Se poi vuoi usare a tutti i costi la tua $u = 1 - cos t$, la devi restringere ad un intervallo in cui essa sia invertibile. Sfruttando l'evidente simmetrie, puoi allora scrivere:
$int_0^{2 \pi} sqrt{1-cos t}= 2 int_0^\pi sqrt{1-cos t} dt$. Adesso puoi procedere senza errori.
ps. l'integrale che hai scritto in $dx$ è privo di senso ...
Un procedimento che ti evita di cadere in questo pasticcio è di usare, come già ti dicevo, le formule di bisezione e semplificare drasticamente la funzione integranda.
Se poi vuoi usare a tutti i costi la tua $u = 1 - cos t$, la devi restringere ad un intervallo in cui essa sia invertibile. Sfruttando l'evidente simmetrie, puoi allora scrivere:
$int_0^{2 \pi} sqrt{1-cos t}= 2 int_0^\pi sqrt{1-cos t} dt$. Adesso puoi procedere senza errori.
ps. l'integrale che hai scritto in $dx$ è privo di senso ...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo