Lunghezza d'arco e movimento rigido
Considero una curva parametrizzata differenziabile $alpha:I->RR^3$ e un movimento rigido $M:RR^3-_RR^3$ definito da $Mx=Px+c$ con $P\inSO(3,RR)$, $detP=1$ e $c\inRR^3$.
Voglio mostrare che, detta $\baralpha=Malpha$ la curva ottenuta applicando il movimento rigido $M$ ad $alpha$ la lunghezza d'arco di $alpha$ coincide con quella di $\baralpha$.
Considero $[a,b]\subI$, $s(b)-s(a)=\int_a^b|(dalpha)/dt|dt=...=\int_a^b|P(dalpha)/dt|dt=\int_a^b|d/dt(Palpha)|dt=\int_a^b|d/dt(Palpha+c)|dt=\int_a^b|d/dt(Malpha)|dt=$
$=\int_a^b|d\baralpha/dt|dt$.
Dove ho messo i puntini scrivo in sostanza che la norma del vettore tangente è ugale alla norma dell'immagine del vettore tangente attraverso P: questo è vero perchè essendo $detP=1$ vale $|x|=|Px|$ $AAx\inRR^3$?
Altra questione: $P(dalpha)/dt=d/dt(Palpha)$ perchè P è lineare giusto?
Voglio mostrare che, detta $\baralpha=Malpha$ la curva ottenuta applicando il movimento rigido $M$ ad $alpha$ la lunghezza d'arco di $alpha$ coincide con quella di $\baralpha$.
Considero $[a,b]\subI$, $s(b)-s(a)=\int_a^b|(dalpha)/dt|dt=...=\int_a^b|P(dalpha)/dt|dt=\int_a^b|d/dt(Palpha)|dt=\int_a^b|d/dt(Palpha+c)|dt=\int_a^b|d/dt(Malpha)|dt=$
$=\int_a^b|d\baralpha/dt|dt$.
Dove ho messo i puntini scrivo in sostanza che la norma del vettore tangente è ugale alla norma dell'immagine del vettore tangente attraverso P: questo è vero perchè essendo $detP=1$ vale $|x|=|Px|$ $AAx\inRR^3$?
Altra questione: $P(dalpha)/dt=d/dt(Palpha)$ perchè P è lineare giusto?
Risposte
Secondo me va abbastanza bene quanto dici. Per esempio su Do Carmo, pag. 23, abbiamo che A linear map \(\rho: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) is an orthogonal transformation when \(\rho u \cdot \rho v = u \cdot v\) for all vectors \(u, v \in \mathbb{R}^3\). A rigid motion in \(\mathbb{R}^3\) is the result of the composing a translation with an orthogonal transformation with positive determinant.
Data quindi \(\alpha(t) : I \to \mathbb{R}^3\) una curva regolare, abbiamo che \[\left| \frac{d \alpha(t)}{d t} \right|=|\alpha'(t)| = \sqrt{ \alpha'(t)\cdot \alpha'(t)}\]
Se ora prendiamo il vettore trasformato \(\rho \alpha(t)\), si ha che \(\rho\) non dipende dal tempo, e quindi sarà \[\frac{d \rho \alpha(t)}{dt} = \rho \frac{d \alpha(t)}{dt}=\rho \alpha'(t)\]Se non ti è chiaro questo fatto, puoi farti un esempio con una generica matrice associata \[A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\] e una curva generica \[\alpha(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} \] donde \[(A\alpha(t))' = \begin{pmatrix} a_{11}\alpha(t) + a_{12}\alpha(t) + a_{13}\alpha(t) \\ a_{21}\alpha(t) + a_{22}\alpha(t) + a_{23}\alpha(t) \\ a_{31}\alpha(t) + a_{32}\alpha(t) + a_{33}\alpha(t) \end{pmatrix}' =\begin{pmatrix} a_{11}\alpha(t) \\ a_{12}\alpha(t) \\ a_{13}\alpha(t)\end{pmatrix}' \\ \begin{pmatrix} a_{21}\alpha(t) \\ a_{22}\alpha(t) \\ a_{23}\alpha(t) \end{pmatrix}' + \begin{pmatrix}a_{31}\alpha(t) \\ a_{32}\alpha(t) \\ a_{33}\alpha(t) \end{pmatrix}' \]
e ne discende che \[\left| \frac{d \alpha(t)}{d t} \right|= \sqrt{\rho \alpha'(t) \cdot \rho \alpha'(t)}=\sqrt{\alpha'(t) \cdot \alpha'(t)}\]
Ti rimane da sistemare il caso delle traslazioni, ma mi sembra facile farlo.
Data quindi \(\alpha(t) : I \to \mathbb{R}^3\) una curva regolare, abbiamo che \[\left| \frac{d \alpha(t)}{d t} \right|=|\alpha'(t)| = \sqrt{ \alpha'(t)\cdot \alpha'(t)}\]
Se ora prendiamo il vettore trasformato \(\rho \alpha(t)\), si ha che \(\rho\) non dipende dal tempo, e quindi sarà \[\frac{d \rho \alpha(t)}{dt} = \rho \frac{d \alpha(t)}{dt}=\rho \alpha'(t)\]Se non ti è chiaro questo fatto, puoi farti un esempio con una generica matrice associata \[A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\] e una curva generica \[\alpha(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} \] donde \[(A\alpha(t))' = \begin{pmatrix} a_{11}\alpha(t) + a_{12}\alpha(t) + a_{13}\alpha(t) \\ a_{21}\alpha(t) + a_{22}\alpha(t) + a_{23}\alpha(t) \\ a_{31}\alpha(t) + a_{32}\alpha(t) + a_{33}\alpha(t) \end{pmatrix}' =\begin{pmatrix} a_{11}\alpha(t) \\ a_{12}\alpha(t) \\ a_{13}\alpha(t)\end{pmatrix}' \\ \begin{pmatrix} a_{21}\alpha(t) \\ a_{22}\alpha(t) \\ a_{23}\alpha(t) \end{pmatrix}' + \begin{pmatrix}a_{31}\alpha(t) \\ a_{32}\alpha(t) \\ a_{33}\alpha(t) \end{pmatrix}' \]
e ne discende che \[\left| \frac{d \alpha(t)}{d t} \right|= \sqrt{\rho \alpha'(t) \cdot \rho \alpha'(t)}=\sqrt{\alpha'(t) \cdot \alpha'(t)}\]
Ti rimane da sistemare il caso delle traslazioni, ma mi sembra facile farlo.
Sul fatto che $P(dalpha)/dt=(dPalpha)/(dt)$ tutto chiarissimo, mentre mi confermi che se $detP=1$ allora $|Px|=|x|$ $AAx inRR^3$ (o in generale in $RR^n$, intendo)?
In verità credo basti la definizione di movimento rigido (quella del determinante è piuttosto una conseguenza del fatto che stiamo trattando con matrici del gruppo ortogonale speciale): infatti \(|x|=\sqrt{x \cdot x}= \sqrt{ \rho x \cdot \rho x} = |\rho x|\).
Il determinante positivo assicura che la trasformazione preserva l'orientazione dello spazio.
Il determinante positivo assicura che la trasformazione preserva l'orientazione dello spazio.
Eh ma quello che non mi è chiaro è perchè puoi passare da $sqrt(x*x)$ a $sqrt(rho x*rho x)$...
"Delirium":
[...] A linear map \(\rho: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) is an orthogonal transformation when \(\rho u \cdot \rho v = u \cdot v\) for all vectors \(u, v \in \mathbb{R}^3\). [...]
Basta porre \(u=v\).
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