L'omotopa equivalenza del complementare di $n$ punti in $RR^2$
Sia $n>=1$ un intero. Siano $EsubeRR^2$ un sottoinsieme di cardinalità $n$. Si provi che $RR^2\\E$ è omotopicamente equivalente a un bouquet di $n$ circonferenze.
A meno di traslare gli $n$ punti possiamo posizionarli in modo equispaziato su $S^1$ nel piano $RR^2$. Dividiamo il piano $RR^2$ in $n$ parti uguali ognuno contenente uno solo tra questi $n$ punti, in ognuna di queste parti possiamo retrarre per deformazione sulla circonferenza di raggio $1$ centrata in ognuno degli $n$ punti, mettendo poi assieme queste $n$ parti, ognuna con la sua retrazione per deformazione, otteniamo la retrazione per deformazione di $RR^2$ sul boquet di $n$ circonferenze, scrivere esplicitamente questa retrazione non mi ci sono messo (per mancata voglia
) però se qualcuno l ha gia pronta mi faerbbe un piacere enorme, grazie.
A meno di traslare gli $n$ punti possiamo posizionarli in modo equispaziato su $S^1$ nel piano $RR^2$. Dividiamo il piano $RR^2$ in $n$ parti uguali ognuno contenente uno solo tra questi $n$ punti, in ognuna di queste parti possiamo retrarre per deformazione sulla circonferenza di raggio $1$ centrata in ognuno degli $n$ punti, mettendo poi assieme queste $n$ parti, ognuna con la sua retrazione per deformazione, otteniamo la retrazione per deformazione di $RR^2$ sul boquet di $n$ circonferenze, scrivere esplicitamente questa retrazione non mi ci sono messo (per mancata voglia
) però se qualcuno l ha gia pronta mi faerbbe un piacere enorme, grazie.
Risposte
Scriverla esplicitamente è come mettersi una grattugia nel culo (come succede con il 95% delle equivalenze omotopiche). Puoi farlo per induzione con Van Chiappe (parti da $n=2$, o ancora meglio $n=1$...). Del resto questi esercizi stanno in tutti i libri del mondo...
"megas_archon":
Scriverla esplicitamente è come mettersi una grattugia nel culo (come succede con il 95% delle equivalenze omotopiche). Puoi farlo per induzione con Van Chiappe (parti da $n=2$, o ancora meglio $n=1$...). Del resto questi esercizi stanno in tutti i libri del mondo...
Ma scusa Van Kampen non è un teorema sui gruppi fondamentali? A me serve mostrare l'omotopa equivalenza.
"Equivalenza omotopica", non "omotopa equivalenza". E quando due regioni del piano (o perlomeno, quelle che consideri tu) hanno lo stesso gruppo fondamentale, sono omotopicamente equivalenti, per il teorema di Whitehead.
"megas_archon":
"Equivalenza omotopica", non "omotopa equivalenza". E quando due regioni del piano (o perlomeno, quelle che consideri tu) hanno lo stesso gruppo fondamentale, sono omotopicamente equivalenti, per il teorema di Whitehead.
Scusa intendevo dire omotopicamente equivalenti, ovvero che $EEf:X->Y$ e $EEg.Y->X$ tale che $f\circg$ è omotopa a $Id_Y$ e $g\circf$ è omotopa a $Id_X$ (ovvero $f$ e $g$ sono equivalenze omotopiche) allora $X$ è omotopicamente equivalente a $Y$
Vabbe però quello che ho scritto io dovrebbe essere giusto no? (forse solo più complicato ma il teorema di Whited non lo conoscevo e seppur molto utile e interessante adesso preferisco esercitarmi un po' più sulle retrazioni per deformazioni)
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