Locale finitezza
qualcuno sa darmi una definizione di locale finitezza...
Risposte
Ti serve per la partizione dell'1?
Comunque:
Una famiglia $A=(A_i)_(i in I)$ di sottoinsiemi di $(X, tau)$ si dice localmente finita se
$\forall x in X$, $\exists U$ intorno di $x$, $\exists J \subseteq I$ finito e non vuoto per cui $\forall i \in I \setminus J$ : $A_i \cap U = \emptyset$
(cioè $U$ interseca un numero finito di elementi di $A$)
Comunque:
Una famiglia $A=(A_i)_(i in I)$ di sottoinsiemi di $(X, tau)$ si dice localmente finita se
$\forall x in X$, $\exists U$ intorno di $x$, $\exists J \subseteq I$ finito e non vuoto per cui $\forall i \in I \setminus J$ : $A_i \cap U = \emptyset$
(cioè $U$ interseca un numero finito di elementi di $A$)
si. mi serve per le varietà topologiche.
Sono all'inizio e la definizione che mi hai dato è la stessa che avevo trovato ma non è che mi è tanto chiara...Puoi spiegarmela se ha tempo
Inoltre e le n-carte e gli atlanti in generale sono applicazioni o aperti. Perchè il sernesi definisce in un modo e un altro testo in un altro...
Sono all'inizio e la definizione che mi hai dato è la stessa che avevo trovato ma non è che mi è tanto chiara...Puoi spiegarmela se ha tempo
Inoltre e le n-carte e gli atlanti in generale sono applicazioni o aperti. Perchè il sernesi definisce in un modo e un altro testo in un altro...
Da quel che ho capito serve ad avere una sorta di "numerabilità" per la partizione (in questo caso parlo della partizione dell'unità). Ed è di solito più semplice lavorare con cose finite. L'esistenza di una partizione dell'unità localmente finita serve a dimostrare molte cose, tra cui l'esistenza di una metrica di Riemann sulla varietà, oppure per definire un concetto di "volume" sulla varietà.
Non capisco il discorso sulle carte.
Tu parli che sono definite in modo diverso in libri diversi. Essenzialmente ho visto che si possono definire in due modi, naturalmente equivalenti:
1. Una carta per una varietà $n$-dimensionale è una coppia $(U, phi)$ per cui $U\subseteq M$ è aperto e $phi: U \to phi(U) subseteq RR^n$ è una funzione biettiva per cui $phi(U)$ è aperto in $RR^n$
2. Una carta è una coppia $(U, phi)$ per cui $U$ è aperto in $M$ e la mappa $phi: U \to phi(U)$ è un omeomorfismo con $phi(U)$ aperto in $RR^n$.
Si può dimostrare che le due affermazioni sono equivalenti.
Tu come hai visto che sono definite?
Non capisco il discorso sulle carte.
Tu parli che sono definite in modo diverso in libri diversi. Essenzialmente ho visto che si possono definire in due modi, naturalmente equivalenti:
1. Una carta per una varietà $n$-dimensionale è una coppia $(U, phi)$ per cui $U\subseteq M$ è aperto e $phi: U \to phi(U) subseteq RR^n$ è una funzione biettiva per cui $phi(U)$ è aperto in $RR^n$
2. Una carta è una coppia $(U, phi)$ per cui $U$ è aperto in $M$ e la mappa $phi: U \to phi(U)$ è un omeomorfismo con $phi(U)$ aperto in $RR^n$.
Si può dimostrare che le due affermazioni sono equivalenti.
Tu come hai visto che sono definite?
ok. la seconda mi sembra ragionevole ed esaustiva... in un caso la carta era un omeomorfismo tra due aperti uno di uno spazio topologico e l'altro di $RR^n$. Un altro invece dava per carta l'aperto dello spazio topologico per cui esisteva l'omeomorfismo con un aperto di $RR^n$.
Convieni con me che un aperto è un omeomorfismo sono due cose diverse?
Convieni con me che un aperto è un omeomorfismo sono due cose diverse?
Si un aperto è un'insieme, un omeomorfismo è una funzione.
Io ho sempre visto la definizione di carta come coppia insieme-funzione, anche perché mi sembra quella più ragionevole possibile.
Io ho sempre visto la definizione di carta come coppia insieme-funzione, anche perché mi sembra quella più ragionevole possibile.
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