Locale compattezza
Se (X,d) è uno spazio metrico localmente compatto (ogni punto ha un intorno compatto), allora è vero che tutte le palle di X sono compatte?
Risposte
Certo che no, a parte casi banali tipo metriche discrete o spazi formati da un numero finito di punti. Ma forse vuoi dire: le palle chiuse sono compatte?
Sì sì! Scusa, volevo dire che tutte le palle chiuse sono compatte. Come faccio a dimostrarlo?
Sia x un punto di X. So che c'è una palla compatta di centro x (per def di spazio loc. compatto). Allora tutte le palle chiuse di centro x di raggio più piccolo sono chiuse in un compatto e quindi compatte. E per le palle chiuse di centro x e raggio più grande come faccio a concludere?
Sia x un punto di X. So che c'è una palla compatta di centro x (per def di spazio loc. compatto). Allora tutte le palle chiuse di centro x di raggio più piccolo sono chiuse in un compatto e quindi compatte. E per le palle chiuse di centro x e raggio più grande come faccio a concludere?
Non sono tanto sicuro che sia vero. Certamente lo è se aggiungi l'ipotesi che ci sia una base numerabile di aperti, ma nel caso generale credo sia falso. Questo è avvalorato dalla pagina sugli spazi metrici della Wikipedia inglese, che chiama gli spazi metrici in cui ogni palla chiusa è compatta spazi metrici propri, aggiungendo che non tutti gli spazi metrici localmente compatti sono propri.
Grazie per il link!
Il nostro prof di analisi ha definito spazi localmente compatti quelli in cui le palle chiuse sono compatte (che wikipedia chiama propri), mentre nel corso di topologia avevamo dato la definizione solita (ogni punto ha un intorno compatto).
Ma, se le due definizioni non sono equivalenti, il teorema di Lusin lo devo dare su spazi propri? Nella dimostrazione ho bisogno che chiuso e limitato implichi compatto; in uno spazio proprio questo è certamente vero, in un localmente compatto...
Il nostro prof di analisi ha definito spazi localmente compatti quelli in cui le palle chiuse sono compatte (che wikipedia chiama propri), mentre nel corso di topologia avevamo dato la definizione solita (ogni punto ha un intorno compatto).
Ma, se le due definizioni non sono equivalenti, il teorema di Lusin lo devo dare su spazi propri? Nella dimostrazione ho bisogno che chiuso e limitato implichi compatto; in uno spazio proprio questo è certamente vero, in un localmente compatto...
Cosa intendi per teorema di Lusin? Quello che conosco io è un teorema di teoria della misura tipico di $RR^n$ che però si può estendere a tutti gli spazi topologici di Hausdorff localmente compatti (in particolare agli spazi metrizzabili localmente compatti). Ma prima mettiamoci d'accordo sugli enunciati.
Credo proprio che intendiamo lo stesso teorema.
Sia (X,d) spazio metrico loc. compatto, (X,S,m) spazio di misura di Radon. Sia $f:X->R$ misurabile, $m{f!=0}<\infty$. Allora:
$\forall \epsilon>0 \exists g_\epsilon:X->R$ continua a supporto compatto, tale che $m{f!=g_\epsilon}<\epsilon$
Devo sostituire proprio a loc.compatto?
Sia (X,d) spazio metrico loc. compatto, (X,S,m) spazio di misura di Radon. Sia $f:X->R$ misurabile, $m{f!=0}<\infty$. Allora:
$\forall \epsilon>0 \exists g_\epsilon:X->R$ continua a supporto compatto, tale che $m{f!=g_\epsilon}<\epsilon$
Devo sostituire proprio a loc.compatto?
"qwertyuio":No, no, l'ipotesi che ti serve è proprio la locale compattezza.
Devo sostituire proprio a loc.compatto?
Ma se A chiuso e limitato in X loc. compatto allora A compatto?
Ad un certo punto della dimostrazione ne avrei bisogno..
Ad un certo punto della dimostrazione ne avrei bisogno..
Se è così si vede che stai leggendo una dimostrazione tagliata specificamente su $RR^n$. La dimostrazione che conosco io (tratta dal libro di W.Rudin Real and complex analysis) non fa uso di questo risultato, tanto è vero che vale nel contesto più generale degli spazi topologici di Hausdorff localmente compatti. Prova a consultare questo testo.
In alternativa dai un'occhiata a questo link, è il primo della lista di Google se cerchi "teorema di Lusin" ma è piuttosto bellino. La dimostrazione che fa lui è su $RR^n$ ma mi pare che sia la stessa del Rudin, quindi dovrebbe funzionare in un contesto più generale. Ricordati che il vero motore di questo teorema è il lemma di Urysohn, con il quale puoi approssimare le funzioni caratteristiche dei compatti usando funzioni continue.
In alternativa dai un'occhiata a questo link, è il primo della lista di Google se cerchi "teorema di Lusin" ma è piuttosto bellino. La dimostrazione che fa lui è su $RR^n$ ma mi pare che sia la stessa del Rudin, quindi dovrebbe funzionare in un contesto più generale. Ricordati che il vero motore di questo teorema è il lemma di Urysohn, con il quale puoi approssimare le funzioni caratteristiche dei compatti usando funzioni continue.
Wey! Gianluca Gorni! Bravo, bravo. Faceva gli esercizi al corso di Analisi I per informatici che tenni "obtorto collo" a Udine nel lontano 1987...
Vedo che oltre a mate si intende anche molto bene di TeX!!!
Scusate per l'amarcord
Vedo che oltre a mate si intende anche molto bene di TeX!!!
Scusate per l'amarcord
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