Locale compattezza

[ager94]

Buongiorno, qualcuno saprebbe spiegarmi perchè $QQ$ euclideo non è localmente compatto mentre $RR$ euclideo è localmente compatto? Grazie mille!

[zambozembo]

Considera che $\mathbb{Q}$ viene dotato generalmente della topologia indotta da $\mathbb{R}$, che necessita di una nozione di metrica. Ora, un intorno in $\mathbb{Q}$ ha la forma $I\cap\mathbb{Q}$, dove $I\in\mathbb{R}$ è un intervallo di $\mathbb{R}$. Ma in $\mathbb{R}$ un insieme è chiuso sse contiene tutti i punti di accumulazione. A te dedurre quindi che un intorno in $\mathbb{Q}$ non può essere chiuso con la topologia ereditata da $\mathbb{R}$. Da cui segue che ogni punto non ammette necessariamente un intorno compatto.

Spero sia tutto corretto.

[Martino]

Come dice zambozembo, prova a dimostrare che un compatto in $QQ$ ha necessariamente interno vuoto.