Lo spazio proiettivo complesso
Provare che $P^n(CC)$ è compatto e T2, in particolare mostrare che $P^1(CC)$ è la compattificazione di
Alexandroff di $RR^2=CC$.
Abbiamo che $P^n(CC)$ è omeomorfo a $S^(2n+1)//S^1$ che è compatto (poichè $S^(2n+1)$ è compatto), per cui anche $P^n(CC)$ è compatto. Per mostrare che T2 avevo pensato di usare il fatto che $S^(2n+1)//S^1$ è T2 mostrando che l'insieme $K={(x,lambdax)| x inS^(2n+1), lambdainS^1}$ è chiuso di $S^(2n+1)xxS^(2n+1)$, però non so ancora bene come fare. Una volta mostrato che $P^n(CC)$ è compatto e T2 in particolare $P^1(CC)$ è compatto e T2 e se mostro che esiste $x inP^1(CC)$ tale che $CC=P^1(CC)\\{x}$ allora ho che $P^1(CC)$ è omeomorfo alla compattificazione di Alexandroff di $RR^2=CC$.
Volevo sapere se la strada fosse giusta per la risoluzione o se c'è qualcosa da dire che non ho notato.
Alexandroff di $RR^2=CC$.
Abbiamo che $P^n(CC)$ è omeomorfo a $S^(2n+1)//S^1$ che è compatto (poichè $S^(2n+1)$ è compatto), per cui anche $P^n(CC)$ è compatto. Per mostrare che T2 avevo pensato di usare il fatto che $S^(2n+1)//S^1$ è T2 mostrando che l'insieme $K={(x,lambdax)| x inS^(2n+1), lambdainS^1}$ è chiuso di $S^(2n+1)xxS^(2n+1)$, però non so ancora bene come fare. Una volta mostrato che $P^n(CC)$ è compatto e T2 in particolare $P^1(CC)$ è compatto e T2 e se mostro che esiste $x inP^1(CC)$ tale che $CC=P^1(CC)\\{x}$ allora ho che $P^1(CC)$ è omeomorfo alla compattificazione di Alexandroff di $RR^2=CC$.
Volevo sapere se la strada fosse giusta per la risoluzione o se c'è qualcosa da dire che non ho notato.
Risposte
Oppure avevo pensato per mostrare che è T2, intanto se prendo $A$ un aperto di $S^(2n+1)$, ovvero $A$ si scrive come :
Abbiamo che la saturazione di $A$ è:
, per cui la saturazione di ogni aperto è aperta e quindi $\pi$ è aperta, ma allora ogni aperto di $S^(2n+1)$ è saturo (poiche se $A$ è aperto $\pi(A)$ è aperto ma per definizione di aperti nel quoziente abbiamo che se $\pi(A)$ è aperto allora $A$ è aperto e saturo). Siano $[x]!=[y]inP^n(CC)$ si ha che $x!=yinS^(2n+1)$ che è T2 per cui esistono $A,B$ aperti disgiunti tali che $x inA,ynotinA,xnotinB,yinB$. Siccome $A,B$ sono saturi ${lambdax|lambdainS^1}subeA$ e ${lambday|lambdainS^1}subeB$, per concludere abbiamo che $\pi(A)$ e $\pi(B)$ sono aperti disgiunti (poichè $A$ e $B$ sono disgiunti e saturi) e tali che $[x]in\pi(A),[y]notin\pi(A),[x]notin\pi(B),[y]in\pi(B)$, da cui $P^n(CC)$ è T2. Mentre per quanto riguarda la compattificazione di Alexandroff avevo pensato che $P^1(CC)\\{infty}$ è omeomorfo a $CC$ (infatti $P^1(CC)$ sono tutte rette parallele a $CC$ che si incontrano in un punto chiamato $infty$ che è multiplo di tutti $x inCC^n\\{0}$ scegliendo $lambda=infty$) per cui $P^1(CC)$ è compattificazione di Alexandroff di $CC=RR^2$. Volevo sapere se andasse bene.
Abbiamo che la saturazione di $A$ è:
, per cui la saturazione di ogni aperto è aperta e quindi $\pi$ è aperta, ma allora ogni aperto di $S^(2n+1)$ è saturo (poiche se $A$ è aperto $\pi(A)$ è aperto ma per definizione di aperti nel quoziente abbiamo che se $\pi(A)$ è aperto allora $A$ è aperto e saturo). Siano $[x]!=[y]inP^n(CC)$ si ha che $x!=yinS^(2n+1)$ che è T2 per cui esistono $A,B$ aperti disgiunti tali che $x inA,ynotinA,xnotinB,yinB$. Siccome $A,B$ sono saturi ${lambdax|lambdainS^1}subeA$ e ${lambday|lambdainS^1}subeB$, per concludere abbiamo che $\pi(A)$ e $\pi(B)$ sono aperti disgiunti (poichè $A$ e $B$ sono disgiunti e saturi) e tali che $[x]in\pi(A),[y]notin\pi(A),[x]notin\pi(B),[y]in\pi(B)$, da cui $P^n(CC)$ è T2. Mentre per quanto riguarda la compattificazione di Alexandroff avevo pensato che $P^1(CC)\\{infty}$ è omeomorfo a $CC$ (infatti $P^1(CC)$ sono tutte rette parallele a $CC$ che si incontrano in un punto chiamato $infty$ che è multiplo di tutti $x inCC^n\\{0}$ scegliendo $lambda=infty$) per cui $P^1(CC)$ è compattificazione di Alexandroff di $CC=RR^2$. Volevo sapere se andasse bene.
Hai provato a dimostrare che \(K\) è chiuso per successioni convergenti?
"j18eos":
Hai provato a dimostrare che \(K\) è chiuso per successioni convergenti?
Sinceramente no, più che altro mi ero buttato sull'altra strada, ma ora che mi ci fai pensare, se prendo una successione in $K$ convergente ad esempio $a_1=(x_1,lambdax_1),...,a_n=(x_n,lambdax_n)$ che converge a $(x,y)inS^(2n+1)xxS^(2n+1)$. Abbiamo quindi che la successione $lambdax_1,...,lambdax_n$ converge a $y$ e la successione $x_1,...,x_n$ converge a $x$. Ma da quest'ultima affermazione deduciamo anche che la successione $lambdax_1,...,lambdax_n$ converge a $lambdax$, ma allora per unicità del limite $y=lambdax$, per cui $(x,y)inK$. Fammi sapere se può andar bene.
Sì, tutto corretto!
Da questo: riesci a dedurre che \(K\) è chiuso?
Da questo: riesci a dedurre che \(K\) è chiuso?
"j18eos":
Sì, tutto corretto!
Da questo: riesci a dedurre che \(K\) è chiuso?
Beh si, non viene direttamente dalla caratterizzazione degli insiemi chiusi?
Più che altro usi fortemente l'ipotesi che ogni punti ha un sistema fondamentale di intorni numerabile: sai di che parlo?
"j18eos":
Più che altro usi fortemente l'ipotesi che ogni punti ha un sistema fondamentale di intorni numerabile: sai di che parlo?
Intendi il primo assioma di numerabilità, ma lo usi per dire che effettivamente una successione può convergere? (Non so se sia giusto rigorosamente ma intuitivamente mi viene da dire così)
No, non hai bisogno del primo assioma di numerabilità per definire le successioni convergenti: pensaci un po'... oppure basta controllare su un qualsiasi testo di topologia! 
"j18eos":
No, non hai bisogno del primo assioma di numerabilità per definire le successioni convergenti: pensaci un po'...
Una delle proprietà di uno spazio topologico $X$ primo-numerabile è che per ogni suo sottoinsieme $A$, un punto $x$ appartiene alla sua chiusura se e soltanto se esiste una successione di punti di $A$ che converge a $x$.
Sì, corretto; ma non ti serve l'assioma \(N_1\) per definire le successioni convergenti in uno spazio topologico!
"j18eos":
Più che altro usi fortemente l'ipotesi che ogni punti ha un sistema fondamentale di intorni numerabile.
Ma questo che hai detto non è l'assioma di numerabilità?
Scusa, ma li leggi i miei messaggi?
"j18eos":
Scusa, ma li leggi i miei messaggi?
Non sto capendo cosa vuoi dire, prima mi dici che uso l'ipotesi di numerabilità e poi dici che non mi serve, intendi dire che lo devo usare per dimostrare qualcos'altro?
...e si vede che mi leggi di corsa!
Mi ripeto:
la chiusura per successioni convergenti è equivalente alla chiusura negli spazi \(N_1\);
le successioni convergenti sono definibili in qualsiasi spazio topologico.
Mi ripeto:
la chiusura per successioni convergenti è equivalente alla chiusura negli spazi \(N_1\);
le successioni convergenti sono definibili in qualsiasi spazio topologico.
"j18eos":
la chiusura per successioni convergenti è equivalente alla chiusura negli spazi \(N_1\);
Ah ok, non la sapevo proprio sta cosa, grazie per avermela detta e scusa per averti fatto perdere tempo.
"andreadel1988":Ma quale perdita di tempo?
[...] scusa per averti fatto perdere tempo.
"j18eos":
Ma quale perdita di tempo?
Per questa cosa che non avevo capito cosa intendessi.
...e perché la chiami perdita di tempo? Penso che noi due abbiamo imparato cose nuove!
"j18eos":
Penso che noi due abbiamo imparato cose nuove!
Per me si, ma tu già la sapevi quindi non so. Comunque grazie di nuovo.
Ok, mi fa piacere che la cosa si sia capita. Come mai hai inserito immagini invece di scrivere le formule? Se si può evitare è sempre meglio non pubblicare immagini
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