Lo span di un compatto è aperto ?

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Ciao,

non riesco a capire se questa affermazione è vera:

Dato uno spazio metrico compatto $ A $ allora $ span(A) $ è un aperto ?


Vi ringrazio.

[j18eos]

Per mancanza di ipotesi, ti dico la mia: se questo compatto metrico \(\displaystyle A\) è contenuto in \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) con la topologia naturale, la risposta è no; perché tutti i sottospazi vettoriali propri di \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) sono chiusi!

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Hai ragione, scusa, non ho detto nulla del mio problema: la questione è questa, $ A $ è un sottoinsieme compatto di \( \ell^2 \) e quindi
lo $ span(A) $ è un aperto ?

Grazie

[j18eos]

Se non ho visto male, la risposta resta no; anche se l'insieme compatto \(\displaystyle K\) è infinito.

Ad esempio, se \(\displaystyle K\) è il cubo di Hilbert allora \(\displaystyle span(K)\) non contiene alcun intorno aperto di \(\displaystyle0\in\ell^2\) (la successione costantemente nulla).

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Ok grazie j18eos speravo di si
devo chiarirmi meglio le idee perchè in effetti l'apertura è da considerare non rispetto a \( \ell ^2 \) ma relativamente alla chiusura di $ span(K) $
in altre parole la questione è questa
se $ K $ è un sottoinsieme compatto di \( \ell ^2 \) allora $ span(K) - { 0 } $ è aperto in \( \overline{span(K)} \) ?
spero in un altro tuo aiuto

[j18eos]

Hai provato a ragionare col cubo di Hilbert?

Così, a intuito, ti direi che in quel caso la risposta è affermativa; ma controlla, che potrei essermi sbagliato!

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Ti ringrazio per la risposta, e ho fatto salti di gioia appena ho visto la tua risposta (letteralmente) !!!!
io sono un autodidatta per cui non ho padronanza completa su queste cose...
mi posso permettere di chiederti un aiuto per dimostrare questa cosa?

[j18eos]

Inizia a descrivere gli elementi di \(\displaystyle Span(K)\).