Linearità e iniettività di un'applicazione

[miticome]

Sia e1, e2, e3 una base per $ V $ e sia $ T:vrarr v $ l'applicazione definita da $ T( xe1+ye2+ze3 )= ( x-y-h )e1 + ( x+y+k )e2 + ( x-2y )e3 $ dire se l'applicazione è lineare e iniettiva

Per quanto riguarda la linearità non ho problemi nel trovarla non riesco a capire come fare in questo caso a trovare l'iniettività... dovrebbe venire non iniettiva per h=0 e k=o

Se qualcuno può darmi una mano

Grazie

[angus89]

Una applicazione LINEARE è iniettiva se e soltanto se il ker è costutuito dal solo $0$, ovvero se $F(v)=0 <=> v=0$.
(se non sapevi questa cosa, dimostrala)
Quindi potresti imporre che l'immagine di un vettore sia $0$ ad esempio, e quindi ragionare....

[miticome]

potrei anche calcolarmi la matrice associata ridurla in scala e vedere se ha nucleo nullo?

in questo caso la matrice associata sarebbe $ | ( 1 , -1 , -h ),( 1 , 1 , k ),( 1 , -2 , 0 ) | $ oppure $ | ( 1 , 1 , 1 ),( -1 , 1 , -2 ),( -h , k , 0 ) | $ è un dubbio che ho che vorrei levarmi.

Non capisco infatti se la riga è composta da tutte le $ x $ o se $ (x-y-h)e1 $ sia direttamente la riga della matrice associata

[miticome]

Essendo il Nucleo dovrebbe essere giusta la prima matrice associata che ho scritto giusto?

[angus89]

La regola generale è che nella matrice associata i vettori colonna sono le immagini dei vettori della base (prova a fare qualche esempio), quindi nel tuo caso la matrice ha come vettori colonna $T(e_i)$ per $i=1,2,3$.
Poi...invece che fare la riduzione a scalini (che comunque sarebbe corretta), non potresti ragionare un po sul determinante?