Lineare indipendenza in funzione di un parametro

[Heghemòn]

Salve a tutti.
In questi giorni sto studiando molto la parte dell'algebra lineare. Mi sono imbattuto nel seguente esercizio, per il quale non riesco a capire se il ragionamento e il risultato siano corretti.

Dati seguenti vettori, verificare per quali valori di \(\displaystyle \beta \) i 3 vettori sono linearmente indipendenti:

\(\displaystyle
u = \begin{pmatrix}
0\\
2\\
-2\beta\\
2
\end{pmatrix}

v = \begin{pmatrix}
0\\
\beta\\
-2\\
\beta
\end{pmatrix}

w = \begin{pmatrix}
\beta\\
1\\
1\\
\beta +1
\end{pmatrix}
\)

Per studiare la lineare indipendenza in funzione del parametro, ho unito i tre vettori in un' unica matrice, l'ho ridotta in forma scala per riga e ho posto i pivot contenenti \(\displaystyle 1beta \) uguali a 0. Così ho trovato i valori per la quale il rango non era massimo, il chè implica la lineare dipendenza.

Il risultato dei miei calcoli ammonta a \(\displaystyle \beta \neq 0 \).
Sorgono 2 domande :
1) Il ragionamento logico è giusto?
2) Il risultato vi coincide?

Grazie mille

[michele.assirelli]

Esattamente come hai fatto devi porre i 3 vettori in un unica matrice e studiare per quali valori di $β$ il rango è massimo (ossia 3)
Per tali valori di $β$ i vettori saranno linearmente indipendenti