Limiti nella Grassmanniana e coordinate di Plucker
Tutto quello che dico e' sul campo complesso \(\mathbb{C}\) (non so se cambia qualcosa su altri campi). Sia $V$ uno spazio vettoriale. Il succo di questo post si puo' forse riassumere in questa domanda:
Se ho le coordinate di un punto della Grassmanniana $G(k,V)$ dei $k$-piani in $V$ nel suo embedding di Plucker, c'e' un algoritmo efficiente per produrre una base del sottospazio di $V$ corrispondente?
Piu' precisamente, mi piacerebbe avere un modo facile e veloce per fare limiti nella Grassmanniana. Facciamo un esempio.
Lavoriamo in $G(2,V)$ con $\dim (V) = 3$. Fissiamo $v_1,v_2,v_3$ base di $V$. Consideriamo la famiglia di piani (con $t \ne 0$)
\[
E_t = \langle v_1 + t v_2 , v_1 + tv_3 \rangle \in G(2,V).
\]
Facendo il limite dei generatori per $t$ che va a $0$, non otteniamo piu' un $2$-piano, perche' i due limiti sono linearmente dipendenti. Tuttavia, per compattezza, il limite deve esistere nella Grassmanniana. Infatti, se andiamo nel suo embedding di Plucker (quindi vediamo \(G(2,V) \subset \mathbb{P}\Lambda^2 V\) ) si ha (le parentesi quadre indicano la classe nel proiettivo)
\[
E_t = [(v_1 + tv_2) \wedge (v_1 + tv_3)]
\]
ed espandendo $\wedge$ si ottiene
\[
E_t = [ v_1 \wedge v_1 + t v_1 \wedge v_3 + t v_2 \wedge v_1 + t^2 v_2 \wedge v_3] = [v_1 \wedge v_3 + v_2\wedge v_1 + t v_2 \wedge v_3]
\]
dove si e' usato il fatto che $v_1 \wedge v_1 = 0$ e il fatto che i punti nel proiettivo non dipendono da fattori moltiplicativi (e quindi si e' diviso per $t$).
Si conclude che il limite per $t \to 0$ di $E_t$ e' il punto nel proiettivo $ [v_1 \wedge v_3 + v_2 \wedge v_1]$, e il fatto che la Grassmanniana e' un chiuso, mi garantisce che quel punto corrisponda ancora a un $2$-piano. In questo caso in effetti e' facile riscriverlo come $[v_1 \wedge (v_3 - v_2)]$ e ricostruire una base $v_1,v_3-v_2$ per il piano limite.
La mia domanda e': c'e' un algoritmo facile e veloce per ricostruire la base in casi piu' complicati?
Mi sono reso conto mentre lo scrivevo che l'esempio proposto e' banale in quanto se \(\dim V = 3\), allora la grassmanniana e' uguale all'intero spazio. Si puo' dare un senso allo stesso esempio prendendo \(\dim V = 4\) e $v_1,v_2,v_3$ linearmente indipendenti.
Se ho le coordinate di un punto della Grassmanniana $G(k,V)$ dei $k$-piani in $V$ nel suo embedding di Plucker, c'e' un algoritmo efficiente per produrre una base del sottospazio di $V$ corrispondente?
Piu' precisamente, mi piacerebbe avere un modo facile e veloce per fare limiti nella Grassmanniana. Facciamo un esempio.
Lavoriamo in $G(2,V)$ con $\dim (V) = 3$. Fissiamo $v_1,v_2,v_3$ base di $V$. Consideriamo la famiglia di piani (con $t \ne 0$)
\[
E_t = \langle v_1 + t v_2 , v_1 + tv_3 \rangle \in G(2,V).
\]
Facendo il limite dei generatori per $t$ che va a $0$, non otteniamo piu' un $2$-piano, perche' i due limiti sono linearmente dipendenti. Tuttavia, per compattezza, il limite deve esistere nella Grassmanniana. Infatti, se andiamo nel suo embedding di Plucker (quindi vediamo \(G(2,V) \subset \mathbb{P}\Lambda^2 V\) ) si ha (le parentesi quadre indicano la classe nel proiettivo)
\[
E_t = [(v_1 + tv_2) \wedge (v_1 + tv_3)]
\]
ed espandendo $\wedge$ si ottiene
\[
E_t = [ v_1 \wedge v_1 + t v_1 \wedge v_3 + t v_2 \wedge v_1 + t^2 v_2 \wedge v_3] = [v_1 \wedge v_3 + v_2\wedge v_1 + t v_2 \wedge v_3]
\]
dove si e' usato il fatto che $v_1 \wedge v_1 = 0$ e il fatto che i punti nel proiettivo non dipendono da fattori moltiplicativi (e quindi si e' diviso per $t$).
Si conclude che il limite per $t \to 0$ di $E_t$ e' il punto nel proiettivo $ [v_1 \wedge v_3 + v_2 \wedge v_1]$, e il fatto che la Grassmanniana e' un chiuso, mi garantisce che quel punto corrisponda ancora a un $2$-piano. In questo caso in effetti e' facile riscriverlo come $[v_1 \wedge (v_3 - v_2)]$ e ricostruire una base $v_1,v_3-v_2$ per il piano limite.
La mia domanda e': c'e' un algoritmo facile e veloce per ricostruire la base in casi piu' complicati?
Mi sono reso conto mentre lo scrivevo che l'esempio proposto e' banale in quanto se \(\dim V = 3\), allora la grassmanniana e' uguale all'intero spazio. Si puo' dare un senso allo stesso esempio prendendo \(\dim V = 4\) e $v_1,v_2,v_3$ linearmente indipendenti.
Risposte
"Pappappero":Penso che qui ci voglia una piccola precisazione: è vero che tutte le grassmanniane sono spazi topologici compatti (sia nella topologia naturale che in quella di Zariski); ma le successioni di uno spazio compatto non sono convergenti a priori, quindi la tua attenzione (se non fosse sotto intesa) è da limitarsi alle sole successioni convergenti.
...Più precisamente, mi piacerebbe avere un modo facile e veloce per fare limiti nella Grassmanniana...
Per quanto riguarda la tua domanda: hai provato a lavorare con le relazioni di Plücker?
Mi riferivo in particolare a limiti di curve algebriche, come nell'esempio.
Comunque ho trovato un modo molto carino che descrivo brevemente (riferendomi al link che ha postato j18eos, il tutto si basa sulla proposizione 3.4):
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e sia $k \le n$. Fissiamo $\omega \in \Lambda ^k V$. Allora l'applicazione lineare
\begin{align*}
\phi_\omega: V &\to \Lambda^{k+1}V\\
v &\mapsto \omega \wedge v
\end{align*}
ha rango almeno $n-k$ ed esattamente $n-k$ se e solo se $\omega = u_1 \wedge ... \wedge u_k$ per certi vettori $u_j \in V$. Inoltre in quest'ultimo caso $\ker \phi_\omega = \langle u_1, ... ,u_k \rangle$.
Secondo me e' rilevante che questa facile applicazione lineare fornisca equazioni set-theoretic per la grassmanniana, che vengono dai minori $(n-k+1) \times( n-k+1)$.
In ogni caso, se $\omega$ e' un punto della Grassmanniana, allora il calcolo del kernel di questa funzione lineare fornisce una base per il sottospazio che $\omega$ rappresenta nella Grassmanniana. Si implementa con due righe di codice in Macaulay2.
Comunque ho trovato un modo molto carino che descrivo brevemente (riferendomi al link che ha postato j18eos, il tutto si basa sulla proposizione 3.4):
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e sia $k \le n$. Fissiamo $\omega \in \Lambda ^k V$. Allora l'applicazione lineare
\begin{align*}
\phi_\omega: V &\to \Lambda^{k+1}V\\
v &\mapsto \omega \wedge v
\end{align*}
ha rango almeno $n-k$ ed esattamente $n-k$ se e solo se $\omega = u_1 \wedge ... \wedge u_k$ per certi vettori $u_j \in V$. Inoltre in quest'ultimo caso $\ker \phi_\omega = \langle u_1, ... ,u_k \rangle$.
Secondo me e' rilevante che questa facile applicazione lineare fornisca equazioni set-theoretic per la grassmanniana, che vengono dai minori $(n-k+1) \times( n-k+1)$.
In ogni caso, se $\omega$ e' un punto della Grassmanniana, allora il calcolo del kernel di questa funzione lineare fornisce una base per il sottospazio che $\omega$ rappresenta nella Grassmanniana. Si implementa con due righe di codice in Macaulay2.
Felice di esserti stato utile! 
P.S.: Ma ti interessi di computer algebra o roba simile?
P.S.: Ma ti interessi di computer algebra o roba simile?
Un pochino. Ma non e' che me ne interesso nel senso che studio come funzionano; li uso piu' che altro come fabbriche di esempi piu' grandi di quelli che riesco a calcolare a mano.
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