Lettura equazioni con operatore nabla

[Der_Nacht]

Salve a tutti, non ci ho a che fare da diverso tempo ed ho alcune difficoltà a capire l'ordine delle operazioni in alcune equazioni in cui è presente l'operatore $\nabla$.
Supponiamo infatti di avere due vettori generici $\vec u$ , $\vec v$ e di voler calcolare le seguenti quantità:

$\vec u*\nabla\vec v$

$\vec u\nabla*vec v$

Il dubbio che io ho, e che sicuramente per molti di voi risulterà banale, riguarda la lettura di tali scritture, mi spiego meglio:
il primo caso devo intenderlo come la divergenza del vettore $\vec u$ che poi viene successivamente moltiplicata per $\vec v$ , oppure il gradiente del vettore $\vec v$ (e si ottiene un diadico se non ricordo male?) che viene successivamente moltiplicata per $\vec u$ ?
Nel secondo caso il mio dubbio è sostanzialmente analogo.

[DavideGenova1]

$\vec u*\nabla\vec v$ è il prodotto scalare tra $\vec u$ e il gradiente di $\vec v$, cioè, se per esempio $\vecv :A\subsetRR^3->RR^3$, hai che $\vec u*\nabla\vec v=u_1(\partial v_1)/(\partial x)+u_2(\partial v_2)/(\partial y)+u_1(\partial v_3)/(\partial z)$.

$\vec u\nabla*vec v$ è il prodotto per $\vec u$ della divergenza di $\vec v$, cioè, se per esempio $\vecv$ è come sopra e $\vec u \in RR^3$, si ha che \(\vec u\nabla·\vec v=\begin{pmatrix} u_1(
\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial z}) \\ u_2(
\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial z}) \\ u_3(
\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial z}) \end{pmatrix}\).
Se mi sbaglio spero che qualcuno mi corregga...
Ciao!