L'esponenziale di una matrice

[AndrewC1]

Qualcuno sa darmi una mano a dimostrare che se X è una generica matrice quadrata nxn a ingressi complessi allora

$lim_{x->+Inf}[I+X/m]^m=e^X$

con I la matrice identità.

Io ho pensato che visto che I commuta con X allora [I+X/m]^m si può semplificare tramite il binomio di newton ma poi non riesco a semplificar ela serie che ne esce in modo che sia quella dell'esponenziale complesso. qualcuno mi sa dare una mano?

[dissonance]

Scommetterei che il binomio di Newton è l'idea giusta, ma c'è da smanettarci un po'. Prova a prendere la dimostrazione dell'identità

$lim_{n\to \infty} (1+1/n)^n=e$

fatta prendendo come definizione di $e$ la serie $sum_{n=0}^\infty 1/(n!)$, e cerca di mimarla, dovrebbe funzionare. Questa dimostrazione si può trovare sul libro di Rudin Principi di analisi matematica, terzo capitolo.

P.S.: Qui un abbozzo: https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#260794

[AndrewC1]

Si probabilmente sostituendo l'identità con una X generica riesci a mimare perfettamente la dimostrazione che c'è sul rubin

[dissonance]

Eh però ripensandoci non lo so se funziona. Ho dato una scorsa e mi sa di no: quella dimostrazione usa in modo essenziale le proprietà di $RR$ - come fai a parlare di "limite superiore" di una successione di matrici?

[ViciousGoblin]

"dissonance":Scommetterei che il binomio di Newton è l'idea giusta, ma c'è da smanettarci un po'. Prova a prendere la dimostrazione dell'identità

$lim_{n\to \infty} (1+1/n)^n=e$

fatta prendendo come definizione di $e$ la serie $sum_{n=0}^\infty 1/(n!)$, e cerca di mimarla, dovrebbe funzionare. Questa dimostrazione si può trovare sul libro di Rudin Principi di analisi matematica, terzo capitolo.

P.S.: Qui un abbozzo: https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#260794

Ricordo di avere postato una dim. della proprietà sopra ( che non usa max/min limite) in un altro thread - però non sono bravo a fare ricerche nel forum ....

EDIT. L'ho trovato, era https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#327659.

Però anche lì si usano delle disuguaglianze (il teorema dei carabinieri) che non si trasferiscono a $RR^N$ .
Però ho l'impressione che, seguendo il passaggi di quel post, si riesca a stimare
$|(1+x/n)^n-\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}|$
mediante $1/n$ moltiplicato la norma di una serie sommabile.

[ViciousGoblin]

Provo a dare i dettagli dell'idea descritta sopra. Ragionando come nel post citato prima si trova

$(I+1/n X)^n=\sum_{j=0}^n\frac{n!}{n^j(n-j)!}\frac{X^j}{j!}$ (nota che per applicare la formula del binomio usi il fatto che $I$ e $X$ commutano)
$=\sum_{j=0}^n\frac{X^j}{j!}+\sum_{j=0}^n(\frac{n!}{n^j(n-j)!}-1)\frac{X^j}{j!}$
Dato che il primo addendo tende a $e^X$ ci siamo ridotto a provare che il secondo tende a zero. Si ha
$||\sum_{j=0}^n(\frac{n!}{n^j(n-j)!}-1)\frac{X^j}{j!}||\leq \sum_{j=0}^n|\frac{n!}{n^j(n-j)!}-1|\frac{||X||^j}{j!} \leq 1/n \sum_{j=0}^nj(j-1)\frac{||X||^j}{j!}= ||X||^2/n \sum_{j=2}^n\frac{||X||^{j-2}}{(j-2)!}\leq ||X||^2/n e^{||X||}$
dove la seconda diseguaglianza segue da quanto trovato nell'altro post. Mandando $n$ all'infinito trovi la tesi.

[dissonance]

Molto bello, VG! Ricordo benissimo che, quando ho visto per la prima volta quel limite, ho pensato: "ecco una cosa che mi porterò nella tomba senza dimostrazione".
Avevo parlato troppo presto!