Le basi ortonormali
Salve a tutti. Apro un nuovo argomento su un tema trattato spesso nel forum, di cui però non ho trovato la risposta che cerco.
La questione è semplice da esporre:
Ogni spazio vettoriale di dimensione finita $n$ che indicherò con $V^n$, può essere messo in corrispondenza biunivoca con lo spazio $RR^n$.
Fissata allora una base (qualunque) per $V^n$ ad esempio $B:{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3,...,\vec v_n}$ si ha che ogni vettore $\vec u in V^n$ può essere espresso come combinazione lineare dei vettori della base. Anche gli stessi vettori della base, per i quali vale:
$\vec v_1 = 1*\vec v_1 + 0\vec v_2 + 0\vec v_3+...+0\vec v_n$
$\vec v_2 = 0\vec v_1 + 1\vec v_2 + 0\vec v_3+...+0\vec v_n$
$.
.
.$
$\vec v_n = 0\vec v_1 + 0\vec v_2 + 0\vec v_3+...+1\vec v_n$
Quindi: $\vec v_1=(1,0,0,...,0) \vec v_2=(0,1,0,...,0) ... \vec v_n=(0,0,0,...,1)$
In $RR^n$ considerando il prodotto scalare canonico (o standard) gli elementi appena scritti sono una base ortonormale (anzi costituiscono la base canonica) e la indichiamo con $B_R:{(1,0,0,...,0) (0,1,0,...,0) ... (0,0,0,...,1)}$.
Data la generalità della base scelta posso concludere che:
1)rispetto al prodotto scalare standard tutte le basi sono basi ortonormali (e allora Gram Schmidt, è inutile);
2)la conclusione 1) è scorretta perché: se gli elementi di $RR^n$ $(1,0,0,...,0) (0,1,0,...,0) ... (0,0,0,...,1)$ sono una base ortonormale per $RR^n$ rispetto al prodotto scalare canonico $not=>$ che gli elementi di $B$ siano una base ortonormale per $V^n$ (nonostante gli elementi di $B_R$ ne rappresentino le componenti)
3)la conclusione 1) è corretta ma inutilissima, nel senso che è vero ogni base può essere considerata ortonormale ma: per ogni spazio vettoriale è utile andare a definire un prodotto scalare ad hoc che abbia un certo senso o utilità(scusate la tautologia)
4)voi:"non hai capito proprio niente!" io:"Grazie!"
La questione è semplice da esporre:
Ogni spazio vettoriale di dimensione finita $n$ che indicherò con $V^n$, può essere messo in corrispondenza biunivoca con lo spazio $RR^n$.
Fissata allora una base (qualunque) per $V^n$ ad esempio $B:{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3,...,\vec v_n}$ si ha che ogni vettore $\vec u in V^n$ può essere espresso come combinazione lineare dei vettori della base. Anche gli stessi vettori della base, per i quali vale:
$\vec v_1 = 1*\vec v_1 + 0\vec v_2 + 0\vec v_3+...+0\vec v_n$
$\vec v_2 = 0\vec v_1 + 1\vec v_2 + 0\vec v_3+...+0\vec v_n$
$.
.
.$
$\vec v_n = 0\vec v_1 + 0\vec v_2 + 0\vec v_3+...+1\vec v_n$
Quindi: $\vec v_1=(1,0,0,...,0) \vec v_2=(0,1,0,...,0) ... \vec v_n=(0,0,0,...,1)$
In $RR^n$ considerando il prodotto scalare canonico (o standard) gli elementi appena scritti sono una base ortonormale (anzi costituiscono la base canonica) e la indichiamo con $B_R:{(1,0,0,...,0) (0,1,0,...,0) ... (0,0,0,...,1)}$.
Data la generalità della base scelta posso concludere che:
1)rispetto al prodotto scalare standard tutte le basi sono basi ortonormali (e allora Gram Schmidt, è inutile);
2)la conclusione 1) è scorretta perché: se gli elementi di $RR^n$ $(1,0,0,...,0) (0,1,0,...,0) ... (0,0,0,...,1)$ sono una base ortonormale per $RR^n$ rispetto al prodotto scalare canonico $not=>$ che gli elementi di $B$ siano una base ortonormale per $V^n$ (nonostante gli elementi di $B_R$ ne rappresentino le componenti)
3)la conclusione 1) è corretta ma inutilissima, nel senso che è vero ogni base può essere considerata ortonormale ma: per ogni spazio vettoriale è utile andare a definire un prodotto scalare ad hoc che abbia un certo senso o utilità(scusate la tautologia)
4)voi:"non hai capito proprio niente!" io:"Grazie!"
Risposte
Davvero????? Ma pensa tu!
OK,ma la sostanza della domanda non cambia (o si?), cioè se quelle sono le coordinate (altro che componenti) io potrei dire che scelta quella base $B$ generica, il prodotto scalare tra due vettori $\vec u$ e $\vec w$ che possono esprimersi come
$\vec u=a_1\vec v_1 + a_2\vec v_2 +...+a_n\vec v_n $
$\vec w=b_1\vec v_1 + b_2\vec v_2 +...+b_n\vec v_n $
sarà ad esempio, (così per caso
) : $\vec u * \vec w =a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$
Quindi si ha che $\vec v_i* \vec v_j =0$ se $i!=j$ ; $\vec v_i* \vec v_j = 1$ se $i=j$
Quindi la base è ortonormale.
Grazie
OK,ma la sostanza della domanda non cambia (o si?), cioè se quelle sono le coordinate (altro che componenti) io potrei dire che scelta quella base $B$ generica, il prodotto scalare tra due vettori $\vec u$ e $\vec w$ che possono esprimersi come
$\vec u=a_1\vec v_1 + a_2\vec v_2 +...+a_n\vec v_n $
$\vec w=b_1\vec v_1 + b_2\vec v_2 +...+b_n\vec v_n $
sarà ad esempio, (così per caso
) : $\vec u * \vec w =a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$Quindi si ha che $\vec v_i* \vec v_j =0$ se $i!=j$ ; $\vec v_i* \vec v_j = 1$ se $i=j$
Quindi la base è ortonormale.
Grazie
No, generalmente gli scherzi sono più divertenti e fanno ridere un sacco 
, in ogni caso non farei perdere del tempo prezioso a qualcuno che non conosco per niente.
La mia domanda può sembrare uno scherzo ma io riguardandola e riguardandola non ho capito il perché.
Il prodotto scalare che ho considerato è il prodotto scalare canonico in $\RR^n$ lo so, e negli altri spazi vettoriali ha senso solo se la base è ortonormale (a priori), cioè non è ovviamente uno strumento di verifica. Tuttavia il modo in cui l'ho utilizzato non mi sembra non sia conforme alla def di prodotto scalare.
Vabbè non saprei neanche come continuare perché ho talmente tanti dubbi, cioè forse non riesco a capire se il concetto di base ortonormale è un concetto assoluto o relativo, ma sono più propenso per il relativo: relativo al prodotto scalare che si usa nello spazio vettoriale considerato.
Consideriamo il caso banale dei vettori liberi del piano:
[fcd="vettori"][FIDOCAD]
LI 4 40 74 40 0
LI 74 40 69 35 0
LI 74 40 69 45 0
LI 4 40 44 10 0
LI 44 10 39 10 0
LI 39 10 44 10 0
LI 44 10 44 15 0
TY 64 45 4 3 0 0 0 * v
TY 24 10 4 3 0 0 0 * v
TY 27 14 2 2 0 0 0 * 2
TY 66 49 2 2 0 0 0 * 1[/fcd]
i vettori $\vec v_1$ e $\vec v_2$ sono L.IND. (ovvio),e quindi sono una base. Essi non sono ortogonali nel senso geometrico ma non penso sia impossibile definire, inventarsi, un prodotto scalare secondo cui i vettori $\vec v_1$ e $\vec v_2$ risultino ortogonali nel senso "algebrico" e magari ortonormali. Quindi quella è una base ortonormale.
, in ogni caso non farei perdere del tempo prezioso a qualcuno che non conosco per niente.La mia domanda può sembrare uno scherzo ma io riguardandola e riguardandola non ho capito il perché.
Il prodotto scalare che ho considerato è il prodotto scalare canonico in $\RR^n$ lo so, e negli altri spazi vettoriali ha senso solo se la base è ortonormale (a priori), cioè non è ovviamente uno strumento di verifica. Tuttavia il modo in cui l'ho utilizzato non mi sembra non sia conforme alla def di prodotto scalare.
Vabbè non saprei neanche come continuare perché ho talmente tanti dubbi, cioè forse non riesco a capire se il concetto di base ortonormale è un concetto assoluto o relativo, ma sono più propenso per il relativo: relativo al prodotto scalare che si usa nello spazio vettoriale considerato.
Consideriamo il caso banale dei vettori liberi del piano:
[fcd="vettori"][FIDOCAD]
LI 4 40 74 40 0
LI 74 40 69 35 0
LI 74 40 69 45 0
LI 4 40 44 10 0
LI 44 10 39 10 0
LI 39 10 44 10 0
LI 44 10 44 15 0
TY 64 45 4 3 0 0 0 * v
TY 24 10 4 3 0 0 0 * v
TY 27 14 2 2 0 0 0 * 2
TY 66 49 2 2 0 0 0 * 1[/fcd]
i vettori $\vec v_1$ e $\vec v_2$ sono L.IND. (ovvio),e quindi sono una base. Essi non sono ortogonali nel senso geometrico ma non penso sia impossibile definire, inventarsi, un prodotto scalare secondo cui i vettori $\vec v_1$ e $\vec v_2$ risultino ortogonali nel senso "algebrico" e magari ortonormali. Quindi quella è una base ortonormale.
@Sergio: io sono tuo alleato nella battaglia contro la "base canonica". E' un concetto che [IMHO] andrebbe abolito nei corsi introduttivi, crea una confusione enorme. E' proprio sbagliato dal punto di vista concettuale, lascia intendere l'esistenza di un sistema di riferimento privilegiato.
chapeau!
Dire grazie è poca cosa.
Ho riflettuto molto, anzi moltissimo. Comincerei con il dire: che cosa sono gli elementi dei vettori? Ad es:
E che cosa sono gli elementi di quei due miseri vettori, disegnati in uno piano desolato(cioè senza base)?
__________________________________________________________________________________________________________
Ho "creato" un piccolo esempio:(vabbè dai non ho avuto molta fantasia) consideriamo l'insieme dei polinomi nella variabile $x$ di grado $n<=2$ (scontato?) cioè $p(x)=ax^2+bx+c$. E' possibile dimostrare che essi con le usuali operazioni di somma e prodotto per uno scalare sono uno spazio vettoriale di dimensione 3. Considero i seguenti polinomi come base $B:{(5x^2+2);(2x);(1)}={\vecu_1;\vecu_2;\vecu_3}$ è semplice far vedere (ad esempio con il principio di identità dei polinomi) che essi sono L.IND.
Introduco la seguente funzione o applicazione $f:V\text{x}V \rightarrow \RR$ così definita: $\AA p_1(x)=a_1x^2+b_1x+c_1,p_2(x)=a_2x^2+b_2x+c_2$
$f(p_1(x),p_2(x))=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2$
è facile vedere che tale applicazione è: commutativa, lineare rispetto alla somma di vettori, lineare rispetto al prodotto di un vettore per uno scalare, positiva. Insomma è un prodotto scalare Euclideo.
Considero allora: $\vecu_1*\vecu_2=(5x^2+2)*(2x)=0$
$\vecu_1*\vecu_3=(5x^2+2)*(1)=2$
$\vecu_2*\vecu_3=(2x)*(1)=0$
I vettori considerati NON costituiscono una base ortonormale in relazione al prodotto scalare considerato.
Quindi non devo fare la pazzia che facevo prima di andare a moltiplicare le coordinate rispetto ad una certa base.
________________________________________________________________________________________________________
Bene: ma adesso allora arriva la chicca
che potrebbe minare le basi dell'algebra lineare 
:
non mi picchiare, ma torno di nuovo alla carica con la mia idea:
dato uno spazio vettoriale $V^n$ (generico) e definita per esso una base (generica) $B:{\vecu_1;\vecu_2;...;\vecu_n}$ ogni elemento $\vecvinV^n$ può essere espresso in modo unico come combinazione lineare degli elementi della base $B$
se adesso definisco, invento una funzione $g:V\text{x}V \rightarrow \RR$ che ad ogni coppia di vettori: $\vecv_1=a_1\vecu_1+a_2\vecu_2+...+a_n\vecu_n$ e $\vecv_2=b_1\vecu_1+b_2\vecu_2+...+b_n\vecu_n$ associa il numero: $a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$(cioè il prodotto delle coordinate) una tale funzione, anche se io la usavo come uno stupido, bè però gode delle proprietà richieste dal prodotto scalare Euclideo.
Quindi $g$ che chiamerò funzione banale è un prodotto scalare Euclideo, e quindi come dicevo inizialmente qualunque spazio vettoriale di dimensione finita ha infinite base ortonormali rispetto alla funzione banale.
Ok ora mandatemi tutti gli insulti che volete.
Dire grazie è poca cosa.
Ho riflettuto molto, anzi moltissimo. Comincerei con il dire: che cosa sono gli elementi dei vettori? Ad es:
"Sergio":
Quei vettori non sono ortogonali rispetto al prodotto scalare standard e quindi, rispetto a questo, non formano una base ortonormale.
Possono essere g-ortogonali se ti inventi un prodotto scalare g tale che il prodotto tra quei due vettori sia nullo.
Basta che ti ricordi di effettuare il prodotto usando gli elementi dei vettori, non le loro coordinate rispetto a una base.
E che cosa sono gli elementi di quei due miseri vettori, disegnati in uno piano desolato(cioè senza base)?
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Ho "creato" un piccolo esempio:(vabbè dai non ho avuto molta fantasia) consideriamo l'insieme dei polinomi nella variabile $x$ di grado $n<=2$ (scontato?) cioè $p(x)=ax^2+bx+c$. E' possibile dimostrare che essi con le usuali operazioni di somma e prodotto per uno scalare sono uno spazio vettoriale di dimensione 3. Considero i seguenti polinomi come base $B:{(5x^2+2);(2x);(1)}={\vecu_1;\vecu_2;\vecu_3}$ è semplice far vedere (ad esempio con il principio di identità dei polinomi) che essi sono L.IND.
Introduco la seguente funzione o applicazione $f:V\text{x}V \rightarrow \RR$ così definita: $\AA p_1(x)=a_1x^2+b_1x+c_1,p_2(x)=a_2x^2+b_2x+c_2$
$f(p_1(x),p_2(x))=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2$
è facile vedere che tale applicazione è: commutativa, lineare rispetto alla somma di vettori, lineare rispetto al prodotto di un vettore per uno scalare, positiva. Insomma è un prodotto scalare Euclideo.
Considero allora: $\vecu_1*\vecu_2=(5x^2+2)*(2x)=0$
$\vecu_1*\vecu_3=(5x^2+2)*(1)=2$
$\vecu_2*\vecu_3=(2x)*(1)=0$
I vettori considerati NON costituiscono una base ortonormale in relazione al prodotto scalare considerato.
Quindi non devo fare la pazzia che facevo prima di andare a moltiplicare le coordinate rispetto ad una certa base.
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Bene: ma adesso allora arriva la chicca
che potrebbe minare le basi dell'algebra lineare :non mi picchiare, ma torno di nuovo alla carica con la mia idea:
dato uno spazio vettoriale $V^n$ (generico) e definita per esso una base (generica) $B:{\vecu_1;\vecu_2;...;\vecu_n}$ ogni elemento $\vecvinV^n$ può essere espresso in modo unico come combinazione lineare degli elementi della base $B$
se adesso definisco, invento una funzione $g:V\text{x}V \rightarrow \RR$ che ad ogni coppia di vettori: $\vecv_1=a_1\vecu_1+a_2\vecu_2+...+a_n\vecu_n$ e $\vecv_2=b_1\vecu_1+b_2\vecu_2+...+b_n\vecu_n$ associa il numero: $a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$(cioè il prodotto delle coordinate) una tale funzione, anche se io la usavo come uno stupido, bè però gode delle proprietà richieste dal prodotto scalare Euclideo.
Quindi $g$ che chiamerò funzione banale è un prodotto scalare Euclideo, e quindi come dicevo inizialmente qualunque spazio vettoriale di dimensione finita ha infinite base ortonormali rispetto alla funzione banale.
Ok ora mandatemi tutti gli insulti che volete.
"Agente47":
Bene: ma adesso allora arriva la chicca
non mi picchiare, ma torno di nuovo alla carica con la mia idea:
dato uno spazio vettoriale $V^n$ (generico) e definita per esso una base (generica) $B:{\vecu_1;\vecu_2;...;\vecu_n}$ ogni elemento $\vecvinV^n$ può essere espresso in modo unico come combinazione lineare degli elementi della base $B$
se adesso definisco, invento una funzione $g:V\text{x}V \rightarrow \RR$ che ad ogni coppia di vettori: $\vecv_1=a_1\vecu_1+a_2\vecu_2+...+a_n\vecu_n$ e $\vecv_2=b_1\vecu_1+b_2\vecu_2+...+b_n\vecu_n$ associa il numero: $a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$(cioè il prodotto delle coordinate) una tale funzione, anche se io la usavo come uno stupido, bè però gode delle proprietà richieste dal prodotto scalare Euclideo.
Non capisco perché aggiungi commenti provocatori. Questa costruzione che hai fatto qui è una cosa normalissima. Nota però che la tua funzione $g$ dipende dalla scelta della base. Rispetto ad un'altra base essa sarà espressa in modo diverso, in generale.
Geometricamente tu hai preso un sistema di vettori e ne hai dichiarato l'ortonormalità. Questo individua univocamente un prodotto scalare; in altri termini, hai fissato un sistema di unità di misura di lunghezza e di angolo nel tuo spazio. Da adesso in poi puoi misurare la lunghezza di qualsiasi vettore, raffrontandolo a uno dei vettori della base che hai scelto e che hai dichiarato avere lunghezza unitaria. Similmente, puoi misurare qualsiasi angolo raffrontandolo agli angoli formati dai vettori della base scelta, e che hai dichiarato essere di 90°.
"Sergio":
Per il resto, ti ostini a vagheggiare di prodotti scalari definiti nei termini di coordinate rispetto a una base. Problema tuo.
Vabbè getto la spugna.
Grazie comunque per il prezioso aiuto
"dissonance":
Non capisco perché aggiungi commenti provocatori. Questa costruzione che hai fatto qui è una cosa normalissima. Nota però che la tua funzione g dipende dalla scelta della base. Rispetto ad un'altra base essa sarà espressa in modo diverso, in generale.
Provocatori? Ammazza...mi dispiace fino in fondo. Chiedo comunque scusa, di qualcosa che non ho fatto.
"dissonance":
Questa costruzione che hai fatto qui è una cosa normalissima. Nota però che la tua funzione g dipende dalla scelta della base. Rispetto ad un'altra base essa sarà espressa in modo diverso, in generale.
Si si, volevo intendere quello, però volevo piuttosto sottolineare che quella $g$ è un prodotto scalare nel senso della definizione, anche se è un vagheggio non mi sembra che ci siano dei divieti sull'uso o meno delle coordinate.
"dissonance":
Geometricamente tu hai preso un sistema di vettori e ne hai dichiarato l'ortonormalità. Questo individua univocamente un prodotto scalare; in altri termini, hai fissato un sistema di unità di misura di lunghezza e di angolo nel tuo spazio. Da adesso in poi puoi misurare la lunghezza di qualsiasi vettore, raffrontandolo a uno dei vettori della base che hai scelto e che hai dichiarato avere lunghezza unitaria. Similmente, puoi misurare qualsiasi angolo raffrontandolo agli angoli formati dai vettori della base scelta, e che hai dichiarato essere di 90°.
ok! Thanks!
[ot]Cioè capisco le vostre perplessità, ma io devo porre delle domande su qualcosa che nella mia testa è solo una nebbia. Non sto affrontando lo studio dell'algebra lineare, ma sto studiando meccanica dei fluidi e qui è tutto un tensore.
Leggo e non capisco niente allora mi rendo conto che non capisco perché non conosco le fondamenta dell'algebra lineare.
Quindi cerco di ricollegarmi all'algebra lineare e le domande sembrano veramente un vagheggio. Cioè imposto la mia domanda su un foglio, alla fine non capisco neanche più qual è il mio dubbio. Vabbè giustificazioni fornite, quasi.[/ot]
Un paio di riferimenti che ti potrebbero essere utili (per me lo sono stati):
http://arxiv.org/abs/math/0403252 - Quick introduction to tensor analysis, di Sharipov (un librettino piccolo piccolo ma piuttosto simpatico)
http://books.google.fr/books/about/Tens ... edir_esc=y - Tensor analysis etc... for engineers, di Itskov (questo me lo aveva consigliato Ciampax proprio su questo forum, anni fa - se cerchi in rete lo trovi in pdf).
Comincia dal secondo che parla proprio di questa storia dei prodotti scalari all'inizio-inizio.
http://arxiv.org/abs/math/0403252 - Quick introduction to tensor analysis, di Sharipov (un librettino piccolo piccolo ma piuttosto simpatico)
http://books.google.fr/books/about/Tens ... edir_esc=y - Tensor analysis etc... for engineers, di Itskov (questo me lo aveva consigliato Ciampax proprio su questo forum, anni fa - se cerchi in rete lo trovi in pdf).
Comincia dal secondo che parla proprio di questa storia dei prodotti scalari all'inizio-inizio.
"dissonance":
Un paio di riferimenti che ti potrebbero essere utili (per me lo sono stati):
Grazie! L'inglese che dolorrrrr...cercherò di rimboccarmi le maniche anche se ora come ora, come spesso dico, la velocità di lettura è $\frac{1rigo}{h}$
"Sergio":
Un prodotto scalare agisce su vettori, quindi se ne infischia altamente delle coordinate.
Grazie. Inizio ad avere qualcosa di più concreto in testa.
"Sergio":
In altri termini, se due vettori sono g-ortogonali rispetto a un prodotto scalare g, questo non dipende affatto dalla base scelta.
Giusto. Me lo sono stampato in mente.
"Sergio":
E mi pare inutile insistere.
Va bene non insisto più, anche se quando lo faccio non è per avere ragione ma perché evidentemente il mio dubbio resta.
Ma visto che sei leggermente arrabbiato, non insisto più. La domanda sorge spontanea però: perchè? boh o forse mi sbaglio io, magari è solo il tuo carattere o il tuo modo normale di rispondere, comunque almeno per me sembri leggermente arrabbiato.
Certo, ora è ancora più chiaro.
La soluzione era davanti ai miei occhi, celata da questo $V\text{x}V$ prodotto cartesiano.
Come dico sempre: una cosa è meglio non saperla per niente che saperla male. Il cervello si attacca a quelle nozioni sbagliate e ci vuole tanto sforzo per sradicarle.
Grazie
La soluzione era davanti ai miei occhi, celata da questo $V\text{x}V$ prodotto cartesiano.
Come dico sempre: una cosa è meglio non saperla per niente che saperla male. Il cervello si attacca a quelle nozioni sbagliate e ci vuole tanto sforzo per sradicarle.
Grazie
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