L'area, questa sconosciuta
Vorrei chiedere a tutti una domanda apparentemente semplice: che cos'è l'area? E non intendo "base per altezza diviso due" o "in Italia c'è il duce e c'è il re, quattroterzi pigreco erretré", intendo sapere se esiste una definizione matematicamente rigorosa del concetto di area.
Ci ho pensato spesso, ma benché sia ovvio nella mente, non è molto facile farsene una ragione ben precisa: alcuni mi hanno risposto "per una definizione rigorosa, ricorri agli integrali"; tuttavia lo stesso concetto di integrale (almeno quello secondo Riemann), ha già come PRESUPPOSTO il concetto di area, dato che viene usato per definire "aree infinitesime" sotto una curva, che hanno come valore proprio $f(x)dx$ o, per dirla in modo più "irriverente" ma concettualmente identico, base per altezza.
Esiste dunque una definizione rigorosa e non tautologica del concetto di area? Rispondete numerosi! Ciao a tutti.
Ci ho pensato spesso, ma benché sia ovvio nella mente, non è molto facile farsene una ragione ben precisa: alcuni mi hanno risposto "per una definizione rigorosa, ricorri agli integrali"; tuttavia lo stesso concetto di integrale (almeno quello secondo Riemann), ha già come PRESUPPOSTO il concetto di area, dato che viene usato per definire "aree infinitesime" sotto una curva, che hanno come valore proprio $f(x)dx$ o, per dirla in modo più "irriverente" ma concettualmente identico, base per altezza.
Esiste dunque una definizione rigorosa e non tautologica del concetto di area? Rispondete numerosi! Ciao a tutti.
Risposte
Beh, concettualmente (citando Wikipedia):
"L'area è una misura dell'estensione di una regione bidimensionale di uno spazio, ovvero la misura di una superficie".
Così come il volume è la misura della quantità di spazio tridimensionale occupata da un solido...così l'area misura la quantità di spazio bidimensionale occupata dalla superficie che "riveste" il solido.
Non penso che esista una definizione rigorosa....
"L'area è una misura dell'estensione di una regione bidimensionale di uno spazio, ovvero la misura di una superficie".
Così come il volume è la misura della quantità di spazio tridimensionale occupata da un solido...così l'area misura la quantità di spazio bidimensionale occupata dalla superficie che "riveste" il solido.
Non penso che esista una definizione rigorosa....
Sìsì ho già consultato Wikipedia (altrimenti non avrei neanche scritto qua! 
) e il problema ritorna allo stesso modo: ancora non si è data una definizione soddisfacente dell'area. Notare che dire "l'area è la misura di una superficie" è la stessa cosa, solo un po' più varia, che dire "l'area è l'area". Un po' come dire "i vetri sono trasparenti perché ci puoi vedere attraverso", tradotto: "i vetri sono trasparenti perché sono trasparenti".
Infatti dire che l'area è la misura di una superficie non giustifica il fatto che l'area di un rettangolo è "base per altezza" o l'area di una superficie sferica è $4pir^2$.
Il punto sta in un fatto: se come dice Alex non esiste una definizione rigorosa, ma esiste solo una "operativa" (ossia il quadrettare la figura data e postulare che un quadrato abbia area $l^2$), si può dire che il concetto di area è più vicino alla fisica che alla Matematica? A me sembra assurdo e so di sbagliarmi, ma vorrei dei chiarimenti.
) e il problema ritorna allo stesso modo: ancora non si è data una definizione soddisfacente dell'area. Notare che dire "l'area è la misura di una superficie" è la stessa cosa, solo un po' più varia, che dire "l'area è l'area". Un po' come dire "i vetri sono trasparenti perché ci puoi vedere attraverso", tradotto: "i vetri sono trasparenti perché sono trasparenti".Infatti dire che l'area è la misura di una superficie non giustifica il fatto che l'area di un rettangolo è "base per altezza" o l'area di una superficie sferica è $4pir^2$.
Il punto sta in un fatto: se come dice Alex non esiste una definizione rigorosa, ma esiste solo una "operativa" (ossia il quadrettare la figura data e postulare che un quadrato abbia area $l^2$), si può dire che il concetto di area è più vicino alla fisica che alla Matematica? A me sembra assurdo e so di sbagliarmi, ma vorrei dei chiarimenti.
"Alexp":
Non penso che esista una definizione rigorosa....
Come no?? La teoria della misura è una delle branche più rigorose di tutta la matematica..
Comunque possiamo definire cos'è una misura su un insieme qualsiasi.
Se siamo su $RR^n$ si considera quasi sempre la misura di Lebesgue, perché ha delle proprietà a cui non possiamo rinunciare per motivi intuitivi.
Il problema è che non tutti i sottoinsiemi di $RR^n$ hanno una misura (di Lebesgue), cioè non tutti i sottoinsiemi di $RR^n$ sono Lebesgue-misurabili.
Quindi tu dici che per ottenere una definizione rigorosa di area/volume bisogna studiare questa definizione di Lebesgue? Sarebbe molto importante nella cultura matematica di ogni matematico che si rispetti, conoscere le basi ancora meglio che gli sviluppi, che arrivano da sé. Come ho imparato, in Matematica le cose più difficili sono quelle più facili!
"Gauss91":
Vorrei chiedere a tutti una domanda apparentemente semplice: che cos'è l'area? [...]
Ci ho pensato spesso, ma benché sia ovvio nella mente, non è molto facile farsene una ragione ben precisa: alcuni mi hanno risposto "per una definizione rigorosa, ricorri agli integrali"; tuttavia lo stesso concetto di integrale (almeno quello secondo Riemann), ha già come PRESUPPOSTO il concetto di area, dato che viene usato per definire "aree infinitesime" sotto una curva, che hanno come valore proprio $f(x)" d"x$ o, per dirla in modo più "irriverente" ma concettualmente identico, base per altezza.
Esiste dunque una definizione rigorosa e non tautologica del concetto di area?
Il concetto di area in $RR^2$ (comunemente accettato) è quello formalizzato della misura di Lebesgue; tale misura si costruisce assegnando un'area ai rettangoli (col solito trucco "base per altezza") e poi si estende ad una classe piuttosto ampia di insiemi del piano (ad esempio gli aperti e i chiusi).
Per tornare all'integrale, si dimostra che se $f:[a,b]\to RR$ è continua (ma basta anche meno) e non negativa allora l'integrale di Riemann della $f$ esteso ad $[a,b]$ coincide con la misura di Lebesgue (o area) del rettangoloide subordinato ad $f$ (che è un chiuso di $RR^2$).
Queste sono cose sulle quali spesso si sorvola nel corso di Analisi I, ché sono un po' rognose.
Per non parlare di area di una superficie in $RR^3$... Lì le cose si complicano di moltissimo!
@NightKnight:
"NightKnight":
La teoria della misura è una delle branchie più rigorose di tutta la matematica..
Branchia vs. Branca... Chi vince?
Esiste una definizione carina di area nella geometria sintetica che fa uso delle calssi di equivalenza.
Si assume come primitivo il concetto di figure equiestese. Tale concetto primitivo è una relazione tra le figure piane. Tale relazione è caratterizzata da tre assiomi:
1) Figure congruenti sono equiestese.
2) Somme o differenze di gruppi di figure equivalenti danne figure equiestese.
3) (Postulato di de Zolt) Una figura che sia parte di un'altra non è euquiestesa: in particolare ha estensione minore.
Questa è una relazione di equivalenza: ciascuna classe di equivalenza modulo la relazione di equiestensione si dice area.
Si assume come primitivo il concetto di figure equiestese. Tale concetto primitivo è una relazione tra le figure piane. Tale relazione è caratterizzata da tre assiomi:
1) Figure congruenti sono equiestese.
2) Somme o differenze di gruppi di figure equivalenti danne figure equiestese.
3) (Postulato di de Zolt) Una figura che sia parte di un'altra non è euquiestesa: in particolare ha estensione minore.
Questa è una relazione di equivalenza: ciascuna classe di equivalenza modulo la relazione di equiestensione si dice area.
"Gugo82":
@NightKnight:
[quote="NightKnight"]La teoria della misura è una delle branchie più rigorose di tutta la matematica..
[/quote]
Perdonate l'orrore ortografico.
Capita.
L'approccio corretto (secondo il catechismo vigente ai nostri giorni) è quello delineato da Gugo82.
Ma anche WiZarD non ha torto.
Si tratta di due approcci diversi. La nozione di "area" è un concetto puramente geometrico, e quindi non ha cittadinanza nell'analisi matematica aritmetizzata (che non usa nozioni geometriche, ma solo le proprietà dei numeri reali).
La critica di Gauss91 è perfettamente fondata. Per ragioni didattiche, nei corsi elementari di analisi matematica si usano moltissimi concetti di geometria (lunghezza, area, angolo, pendenza di una retta, tangente a una curva, curva...); tuttavia, essi non sono utilizzati nelle dimostrazioni formali (giustamente), perché se utilizzassimo argomentazioni geometriche non saremmo più nel campo dell'analisi.
Storicamente, il calcolo integrale è nato per calcolare aree. I matematici del 600, del 700 e della prima metà dell'ottocento non sentivano alcun bisogno di definire l'area. Usavano la nozione euclidea di rapporto tra grandezze omogenee: una lunghezza è il rapporto tra due segmenti, un'area è il rapporto tra due rettangoli, etc. (sorvolo sui dettagli reperibili in qualsiasi testo elementare di geometria): l'unico problema che sentivano era quello di calcolare queste misure.
Nell'analisi moderna la definizione di integrale esclude qualsiasi riferimento alla geometria. Ciò vuol dire che la parola area non dovrebbe neppure essere pronunciata , senza prima averne dato una definizione formale (in termini di proprietà dei numeri reali)
Ma anche WiZarD non ha torto.
Si tratta di due approcci diversi. La nozione di "area" è un concetto puramente geometrico, e quindi non ha cittadinanza nell'analisi matematica aritmetizzata (che non usa nozioni geometriche, ma solo le proprietà dei numeri reali).
La critica di Gauss91 è perfettamente fondata. Per ragioni didattiche, nei corsi elementari di analisi matematica si usano moltissimi concetti di geometria (lunghezza, area, angolo, pendenza di una retta, tangente a una curva, curva...); tuttavia, essi non sono utilizzati nelle dimostrazioni formali (giustamente), perché se utilizzassimo argomentazioni geometriche non saremmo più nel campo dell'analisi.
Storicamente, il calcolo integrale è nato per calcolare aree. I matematici del 600, del 700 e della prima metà dell'ottocento non sentivano alcun bisogno di definire l'area. Usavano la nozione euclidea di rapporto tra grandezze omogenee: una lunghezza è il rapporto tra due segmenti, un'area è il rapporto tra due rettangoli, etc. (sorvolo sui dettagli reperibili in qualsiasi testo elementare di geometria): l'unico problema che sentivano era quello di calcolare queste misure.
Nell'analisi moderna la definizione di integrale esclude qualsiasi riferimento alla geometria. Ciò vuol dire che la parola area non dovrebbe neppure essere pronunciata , senza prima averne dato una definizione formale (in termini di proprietà dei numeri reali)
Ottimo! Ciò significa quanto meno che tutti quei "filosofi" che giocano sull'area e su queste entità primitive per "dimostrare" l'infondatezza della Matematica hanno non poco filo da torcere!! Eheh.
Grazie comunque a tutti: mi avete dato molti spunti di studio. Alla prossima!
Grazie comunque a tutti: mi avete dato molti spunti di studio. Alla prossima!
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