L'applicazione e endomorfismo... Im(f) ker(f)
Ho questo esercizio che vorrei cercare di capire, ma mi bloccano alcuni punti...
Si stabilisca per quali valori del parametro $h in RR$ l'applicazione $f:RR^3\toRR^3$ definita da $f(x,y,z) = (x+(h+2)yz, y+(h^2-4), hz)$ è un endomorfismo di $RR^3$; per tali valori, inoltre, si stabilisca se la matrice associata all'endomorfismo (rispetto alle basi canoniche) è diagonalizzabile, ed in caso affermativo, diagonalizzarla; si determinino infine, i sottospazi $Im(f)$ e $ker(f)$.
Prima di tutto se ho capito bene deve essere lineare, quindi pongo a sistema $\{(h + 2 = 0),(h^2 - 4 = 0):}$ il valore comune è h=-2 che vado a sostituire, ottenendo $f(x,y,z) = (x, y, -2z)$ la matrice associata è $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-2))$
Procedendo con i vari calcoli autovalori, molteplicità, ecc... ottengo che la matrice è diagonalizzabile e la matrice diagonale risulta $((-2,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$.
Ora per calcolare l' Im(f) posso procedere calcolando il rango della matrice??? In questo caso mi verrebbe il rango della matrice associata uguale a 3, quindi una base dell'Im(f) può essere quella dei vettori (1,0,0), (0,1,0), (0,0,-2)??? ma poi come potrei procedere??? per il ker(f)???
Ringrazio in anticipo chiunque possa aiutarmi!!!
Si stabilisca per quali valori del parametro $h in RR$ l'applicazione $f:RR^3\toRR^3$ definita da $f(x,y,z) = (x+(h+2)yz, y+(h^2-4), hz)$ è un endomorfismo di $RR^3$; per tali valori, inoltre, si stabilisca se la matrice associata all'endomorfismo (rispetto alle basi canoniche) è diagonalizzabile, ed in caso affermativo, diagonalizzarla; si determinino infine, i sottospazi $Im(f)$ e $ker(f)$.
Prima di tutto se ho capito bene deve essere lineare, quindi pongo a sistema $\{(h + 2 = 0),(h^2 - 4 = 0):}$ il valore comune è h=-2 che vado a sostituire, ottenendo $f(x,y,z) = (x, y, -2z)$ la matrice associata è $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-2))$
Procedendo con i vari calcoli autovalori, molteplicità, ecc... ottengo che la matrice è diagonalizzabile e la matrice diagonale risulta $((-2,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$.
Ora per calcolare l' Im(f) posso procedere calcolando il rango della matrice??? In questo caso mi verrebbe il rango della matrice associata uguale a 3, quindi una base dell'Im(f) può essere quella dei vettori (1,0,0), (0,1,0), (0,0,-2)??? ma poi come potrei procedere??? per il ker(f)???
Ringrazio in anticipo chiunque possa aiutarmi!!!
Risposte
Sì, hai ragionato bene. Il rango della matrice associata è uguale alla dimensione dell'$Im$. Quindi è $3$, se non hai sbagliato i calcoli. Con il teorema della dimensione di un'applicazione lineare ottieni che $dimKer=0$. Se hai dei dubbi a riguardo chiedi pure.
Volevo solo chiederti conferma... il primo membro della tua funzione è $x+(h+2)yz$... oppure tra $y$ e $z$ c'è il segno di somma o differenza?
Volevo solo chiederti conferma... il primo membro della tua funzione è $x+(h+2)yz$... oppure tra $y$ e $z$ c'è il segno di somma o differenza?
Grazie della risposta mistake89!!!
Tornando all'esercizio ora come faccio per trovare il sottospazio dell'Im(f) devo scrivere quindi le equazioni??? E per il ker(f)??? potresti darmi qualche imput perchè sono i primi esercizi di questo genere che faccio sull'immagine e nucleo e nn so da dove incominciare... sto proprio nel pallone!!!
Comuque si il primo membro è proprio un prodotto tra y e z!!
Tornando all'esercizio ora come faccio per trovare il sottospazio dell'Im(f) devo scrivere quindi le equazioni??? E per il ker(f)??? potresti darmi qualche imput perchè sono i primi esercizi di questo genere che faccio sull'immagine e nucleo e nn so da dove incominciare... sto proprio nel pallone!!!
Comuque si il primo membro è proprio un prodotto tra y e z!!
Hai risolto tutto... l'$Im$ è proprio lo spazio generato da $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,-2)$ e coincide con tutto $RR^3$, dal teorema della dimensione sai che $kerf={0_v}$ e pertanto la tua applicazione $f$ è un automorfismo.
Infatti, non avevo pensato alla dimensione del ker uguale a 0. Ma se ad esempio la dimensione del ker(f) non fosse zero, come avrei dovuto fare per trovare il sottospazio??
risolvere il sistema $f(v)=0$
Ok grazie mille!!! Se dopo trovo altri problemi provo a chiedere aiuto!!! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo