Laplaciano in coordinate sferiche
Ciao a tutti!!
Secondo voi qual'è il modo più rapido per ricavare l'espressione del laplaciano in coordinate sferiche? A parte ricordarselo naturalmente...
Secondo voi qual'è il modo più rapido per ricavare l'espressione del laplaciano in coordinate sferiche? A parte ricordarselo naturalmente...
Risposte
Fare i conti.

Però questi operatori hanno di solito anche una definizione intrinseca. Per esempio la divergenza si ottiene prendendo il rapporto del flusso uscente da una sfera centrata nel punto diviso il volume della sfera e facendone il limite per il raggio della sfera che tende a zero (forse facevo prima a scriverlo in formule!!!
). Con queste definizioni è più facile trovare l'espressione di un operatore in diversi sistemi di coordinate. Il Laplaciano ha sicuramente una definizione intrinseca, lo so perché ricordo di averlo letto, qualcuno sa qual è?
P.S.: Questo approccio non è molto rigoroso, anzi per dirla tutta è un po' urag-utang. Ma secondo me è molto migliore rispetto all'approccio rigoroso che, purtroppo, non lascia scampo a quanto detto da Gugo.

P.S.: Questo approccio non è molto rigoroso, anzi per dirla tutta è un po' urag-utang. Ma secondo me è molto migliore rispetto all'approccio rigoroso che, purtroppo, non lascia scampo a quanto detto da Gugo.
Grossolanamente....sarà il flusso per unità di volume del gradiente della funzione scalare.
In ogni caso io credo che tutto sommato il modo più veloce sia usare la derivata covariante...ovviamente si passa per i simboli di Christoffel ma è molto più breve della chain rule secondo me. Il fatto è che mi ricordavo che per ottenere la divergenza il nostro prof aveva usato un terzo tipo di formalismo utilizzando i versori degli assi sferici ([tex]\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\varphi}[/tex] per capirci).....solo che non me lo ricordo
In ogni caso io credo che tutto sommato il modo più veloce sia usare la derivata covariante...ovviamente si passa per i simboli di Christoffel ma è molto più breve della chain rule secondo me. Il fatto è che mi ricordavo che per ottenere la divergenza il nostro prof aveva usato un terzo tipo di formalismo utilizzando i versori degli assi sferici ([tex]\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\varphi}[/tex] per capirci).....solo che non me lo ricordo

Vabbé, ma poi devi ricordarti come calcolare i simboli di Christoffel...
Insomma, siamo sempre lì.
Insomma, siamo sempre lì.

Già...
Riesumo, mi sono ricordato casualmente di questo topic mentre leggevo Frankel, The Geometry of Physics, §2.9c "Vector Analysis in \(\mathbb{R}^3\) ". Si ricava questa formula per il Laplaciano in coordinate curvilinee:
\[\Delta f= \frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial u^i}\left(\sqrt{g}g^{ij}\frac{\partial f}{\partial u^j}\right), \]
dove \(g_{ij}\) sono le componenti del tensore metrico, \(g^{ij}\) indica la matrice inversa di \(g_{ij}\) e \(g=\det(g_{ij})\).
Più che la formula in sé è interessante la maniera in cui viene ricavata, ovvero sfruttando la possibilità di identificare vettori di \(\mathbb{R}^3\) a \(1\)-forme o \(2\)-(pseudo)forme e poi usando le regole del calcolo differenziale esterno.
Si può leggere online su Google Books qui:
http://books.google.it/books?id=DUnjs6n ... &q&f=false
\[\Delta f= \frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial u^i}\left(\sqrt{g}g^{ij}\frac{\partial f}{\partial u^j}\right), \]
dove \(g_{ij}\) sono le componenti del tensore metrico, \(g^{ij}\) indica la matrice inversa di \(g_{ij}\) e \(g=\det(g_{ij})\).
Più che la formula in sé è interessante la maniera in cui viene ricavata, ovvero sfruttando la possibilità di identificare vettori di \(\mathbb{R}^3\) a \(1\)-forme o \(2\)-(pseudo)forme e poi usando le regole del calcolo differenziale esterno.
Si può leggere online su Google Books qui:
http://books.google.it/books?id=DUnjs6n ... &q&f=false