L'algebra lineare oltre un palmo dal mio naso

[jitter1]

Non so se questa mia curiosità (ora) può essere soddisfatta, ma vi dico...

Ho iniziato a studiare algebra lineare perché, per sentito dire, sapevo che è imprescindibile per la matematica, che volevo riprendere. La trovo bella. Bella di per se stessa, ma allo stesso tempo mi piacerebbe avere un’idea di quello che verrà oltre il mio orizzonte vicino. Più concretamente che posso: sto incontrando nuovi enti e concetti che vengono introdotti ed entrano in relazione con altri. Solo che mi trovo in un "eterno presente"... cioè non conosco lo scopo per cui certe cose vengono introdotte. Scopo non nel senso empirico, of course, ma nel senso che, anche se la matematica è fine a se stessa, alcuni concetti singoli (forse in particolare quelli dell’algebra lineare?) servono per crearne altri, più generali e potenti. Probabilmente gli spazi vettoriali e i loro amici vengono introdotti in modo da rendere generali altre cose comprendendole come casi particolari: mi piacerebbe avere un’idea del "mondo” che verrà costruito con questi enti. Insomma, in poche parole vorrei sapere un po' di più a che cosa “serve” l’algebra lineare. Forse la domanda che ho fatto è troppo vaga e perciò una risposta può diventare "impegnativa", ma… be’, sto a vedere che succede

Come sempre grazie a chi ha voglia di rispondere! Ciao

[j18eos]

CIa0 jitter, posso solo dirti (vado di corsa) che gli spazi vettoriali ti consentono di costruire gli spazi affini e proiettivi (su un campo); in particolare, gli spazi affini sul campo reale sono un modello della geometria assiomatica di Euclide che tutti (?) abbiamo appreso alle scuole elementari (oggi come si chiamano? BOH!), inoltre, senza l'algebra lineare non si può studiare l'algebra multilineare, la quale è utilizzata almeno nella geometria differenziale (la lingua della meccanica relativistica, per dirne una grossa) per definire alcuni prodotti, quali i prodotti vettoriali e tensoriali.

Ora ti lascio, per altre curiosità domanda pure!

[Megan00b]

Esempio a braccio di <> dell'algebra lineare.
Tutti noi viviamo sulla superficie della terra; la terra può essere immaginata come una sfera. Se hai una sfera in mano (una palla da tennis) e volessi descriverla diresti certamente che è tondeggiante, che è curva. Eppure se tu scendi per strada e ti guardi intorno non vedi strade curve, le fondamenta dei palazzi hanno spigoli squadrati e sono per così dire rettangolari. E per secoli questo ha portato l'uomo a pensare che la terra fosse piatta. Perchè? Perchè se prendi un oggetto curvo come la superficie della terra e ne guardi solo una porzione piccolissima, come la porzione di superficie della terra che un uomo riesce a guardare stando al livello del suolo, questa superficie curva <>, <> ad un piano. Allo stesso modo quando una cometa passa vicino alla terra e noi la vediamo ci sembra che si stia muovendo lungo una retta eppure quella cometa obbedisce alle leggi di Keplero quindi la sua orbita è qualcosa di simile ad un ellisse o ad un iperbole che sono oggetti curvi: questo perchè una linea curva guardata in una sua porzione molto piccola (l'orbita di una cometa ha un raggio medio paragonabile a quello dell'orbita di un pianeta e spesso è molto maggiore) assomiglia ad una retta.
Questa somiglianza locale tra oggetti <> e oggetti <> permette di confondere gli uni con gli altri: ad esempio se vuoi fare delle misurazioni edilizie per costruire una casa puoi dimenticarti che la terra è tonda e far finta di star costruendo il tuo palazzo su una superficie piana. Se con un telescopio guardi la posizione di una cometa in questo istante e vuoi sapere dove sarà tra un'ora (piccolo intervallo di tempo) puoi dimenticarti che la traiettoria della cometa è curva e la cercherai lungo una retta che parte dalla precedente osservazione. Questa proprietà di somiglianza permette quindi di approssimare oggetti curvi con oggetti dritti e tutte le misure che vuoi fare sugli oggetti reali puoi farle su oggetti ideali che li approssimano e che sono molto più semplici da studiare. E come si studiano gli oggetti <> come rette, piani e loro generalizzazioni? Principalmente con l'algebra lineare.
Quindi molto spesso in analisi e geometria quando c'è da studiare un oggetto curvo magari molto incasinato, ma ci interessano solo le sue proprietà locali, lo approssimiamo in modo opportuno con una retta, un piano eccetera e studiamo il problema come se avvenisse su un oggetto dritto usando tutto quello che trovi sui libri di algebra lineare e applicazioni varie di quella teoria. Dunque puoi considerare il contenuto di un manuale di algebra lineare come un <> in modo tale che conoscendo questa teoria tu potrai applicarla quando userai l'approssimazione <> (in gergo tecnico si dice lineare) descritta sopra.

Spero di essere stato completo ed esaustivo.
A.