Laccio in un sottoinsieme stellato di $RR^n$

[Angus1956]

Sia $XsubeRR^n$ un sottoinsieme stellato. Sia $x_0inX$. Sia $alpha$ un cammino chiuso in $X$ con punto base $x_0$, cioè un cammino in $X$ con punto iniziale $x_0$ e con punto finale $x_0$. Si provi che il cammino $alpha$ è omotopo al cammino costante in $x_0$.
Siccome $X$ stellato allora è contraibile (si dimostra, ho già fatto la dimostrazione che però non mi metto a scriverla) ma allora $X$ è semplicemente connesso e quindi ogni laccio è omotopo al cammino costante. Non mi sono accontentato però ... voglio trovare esplicitamente l'omotopia tra $alpha$ e il cammino costante, ho provato a cercare (usando ad esempio che l'origine $x^star$ dell'insieme stellato può essere collegata a ogni punto dell'insieme stellato) però non sono ancora riuscito bene a trovarla, qualcuno mi sa dire? Grazie.

[megas_archon]

Quello che devi formalizzare è l'idea intuitiva data da questo disegno https://i.postimg.cc/Xqm8fgdd/immagine- ... 140598.png

Se $X$ è il tuo spazio stellato, l'omotopia è determinata dal sottoinsieme $H$ del cilindro \(X\times [0,1]\) che si ottiene congiungendo ogni punto della forma \((x,0)\in X\times \{0\}\) con il punto \((x_0,1)\in X\times\{1\}\). Questo significa che stai deformando con continuità \(\alpha : [0,1]\to X\) in un cammino "sempre più piccolo" attorno a \(x_0\), oppure -più formalmente- che stai considerando la semiretta orientata positivamente \(x_0 + \langle v(t)\rangle\), dove \(v(t)\) è il vettore \(\alpha(t)-x_0\in\mathbb R^{n+1}\), e poi stai riscalando tutto per fare avere a questa parametrizzazione la velocità adeguata.