La tangente al folium di Cartesio di equa. x³ + y³= 3xy
Ciao a tutti.Sono due esercizi molto spinosi perche` non si puo` applicare i metodi moderni.
1.Trovare la tangente al folium di Cartesio di equazione x³ + y³= 3xy col metodo delle flussioni di Newton.
2.Determinare la curva tale che,condotta all`asse una tangente,la sottotangente sia un segmento costante a.
Grazie per aver visitato il mio topic.
1.Trovare la tangente al folium di Cartesio di equazione x³ + y³= 3xy col metodo delle flussioni di Newton.
2.Determinare la curva tale che,condotta all`asse una tangente,la sottotangente sia un segmento costante a.
Grazie per aver visitato il mio topic.
Risposte
Sia P(x,y) il generico punto del "folium Cartesii".
Se esso si sposta di "pochissimo" sulla curva medesima allora la x diventa
x+e (dove e e' la "flussione" subita da x ed e' quello che in termini moderni
si indicherebbe con $Deltax$) mentre y diventa y+ef dove ef e' la flussione subita
da y e che,per e "piccolo", si puo' ritenere proporzionale alla flussione e di x.
(In definitiva la costante di proporzionalita' f,sempre per e "piccolo", e' quella che oggi
chiamiamo la derivata di y rispetto ad x).Poiche ci si e' spostato di poco sulla curva ,il nuovo punto
P'(x+e,y+ef) apparterra' ancora ad essa:
$(x+e)^3+(y+ef)^3=3(x+e)(y+ef)$
Sviluppando i calcoli e tenuto conto che e' pure $x^3+y^3=3xy$ si ottiene
la relazione:
$3ex^2+3e^2x+e^3+3efy^2+3e^2f^2y+e^3f^3=3efx+3ey+3e^2f$
Dividendo per 3e ed annullando i termini contenenti ancora la e
( in altre parole ,facendo tendere e a 0) si ottiene che:
$x^2+fy^2=fx+y$ da cui la formula finale :
$f=(x^2-y)/(x-y^2)$ che indica poi la velocita' con cui la tangente in P si allontana
dalla curva (ovvero il suo coefficiente angolare).
Per esempio nel punto del folium $(3/2,3/2)$ risultA $f=-1$ e dunque la tangente
in tale punto e' $y=-x+3$
E' da notare che la formula fallisce nel punto (0,0) dove pero' la curva presenta
un nodo avente per tangenti i due assi x=0,y=0 che si ottengono
annullando il complesso dei termini di grado piu' basso dell'equazione del folium: 3xy=0
Per il secondo quesito deve essere:
$|y/(y')|=a$ da cui separando le variabili si ottiene:
$y=ke^(+-x/a)$ che rappresenta curve esponenziali .
karl
Se esso si sposta di "pochissimo" sulla curva medesima allora la x diventa
x+e (dove e e' la "flussione" subita da x ed e' quello che in termini moderni
si indicherebbe con $Deltax$) mentre y diventa y+ef dove ef e' la flussione subita
da y e che,per e "piccolo", si puo' ritenere proporzionale alla flussione e di x.
(In definitiva la costante di proporzionalita' f,sempre per e "piccolo", e' quella che oggi
chiamiamo la derivata di y rispetto ad x).Poiche ci si e' spostato di poco sulla curva ,il nuovo punto
P'(x+e,y+ef) apparterra' ancora ad essa:
$(x+e)^3+(y+ef)^3=3(x+e)(y+ef)$
Sviluppando i calcoli e tenuto conto che e' pure $x^3+y^3=3xy$ si ottiene
la relazione:
$3ex^2+3e^2x+e^3+3efy^2+3e^2f^2y+e^3f^3=3efx+3ey+3e^2f$
Dividendo per 3e ed annullando i termini contenenti ancora la e
( in altre parole ,facendo tendere e a 0) si ottiene che:
$x^2+fy^2=fx+y$ da cui la formula finale :
$f=(x^2-y)/(x-y^2)$ che indica poi la velocita' con cui la tangente in P si allontana
dalla curva (ovvero il suo coefficiente angolare).
Per esempio nel punto del folium $(3/2,3/2)$ risultA $f=-1$ e dunque la tangente
in tale punto e' $y=-x+3$
E' da notare che la formula fallisce nel punto (0,0) dove pero' la curva presenta
un nodo avente per tangenti i due assi x=0,y=0 che si ottengono
annullando il complesso dei termini di grado piu' basso dell'equazione del folium: 3xy=0
Per il secondo quesito deve essere:
$|y/(y')|=a$ da cui separando le variabili si ottiene:
$y=ke^(+-x/a)$ che rappresenta curve esponenziali .
karl
veramente bello, karl!
Grazie mille,karl.
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