La struttura degli insiemi di livello

[dissonance]

Supponiamo di avere una varietà differenziabile [tex]M[/tex] di dimensione [tex]d[/tex] (mi basterebbe il caso [tex]M=\mathbb{R}^d[/tex]) e una funzione differenziabile [tex]F \colon M \to \mathbb{R}[/tex]. Chiamiamo [tex]V[/tex] l'insieme dei punti [tex]p\in M[/tex] tali che [tex]F(p)=0[/tex]. Se [tex]0[/tex] è un valore regolare per [tex]F[/tex] allora [tex]V[/tex] ha in modo naturale struttura di varietà differenziabile di dimensione [tex]d-1[/tex]; ma (domanda) cosa possiamo dire senza questa ipotesi? In particolare, è vero che [tex]V[/tex] è una varietà topologica di dimensione [tex]d-1[/tex]?

[gugo82]

A occhio, direi di no.

Prendi [tex]$F(x,y,z):=(x-y)^2+(z-x)^2$[/tex]: evidentemente [tex]$F(x,y,z)$[/tex] è analitica, però [tex]$0$[/tex] non è un valore regolare, giacché [tex]$F^{-1} (0) = \{ (x,x,x),\ x\in \mathbb{R} \}$[/tex] ed il gradiente di [tex]$F(x,y,z)$[/tex] è nullo in ogni punto di [tex]$F^{-1}(0)$[/tex].
E difatti [tex]$F^{-1}(0)$[/tex] è una retta di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex], ossia una varietà di dimensione [tex]$1$[/tex].

Probabilmente si possono ottenere controesempi più strani usando oggetti frattali, ma è solo intuizione ed a questo punto alzo le mani.

[dissonance]

Eh ma già questo esempio è abbastanza illuminante, grazie Gugo. Quindi a priori non si sa nulla della dimensione. E tu supponi anche che a priori non si sappia nulla neanche della struttura topologica, se capisco bene la tua intuizione. Vabbé, qui andiamo ampiamente oltre le mie conoscenze, però.