La retta nel piano: Chiarimenti su esercizio
Ciao ragà, chiedo il vostro saggio aiuto
ESERCIZIO
Date le equazioni parametriche di una retta
r) Sistema di: x = 2 - 2t y = 1-t
trovare:
a) le equazioni parametriche della retta s passante per P = (2,-3) e parallela ad r
b) l'equazione cartesiana della retta t per P = (-1,2) perpendicolare ad r
SVOLGIMENTO
Giusto per fare più cose:
Il vettore direttore della retta "r" è v = -2i - 1j con i e j versori; (sono i vettori che si sottolineano vero?)
Questa retta passa per il punto P0 = (2,1);
Per trovare l'equazione cartesiana di tale retta:
1) Elimino il parametro "t" ottenendo (x-2)/-2 = (y-1)/-1
2) Moltiplico ad incrocio ottenendo -x + 2 - 2y + 2 = 0 cioè x + 2y - 4 = 0 QUESTA DOVREBBE ESSERE L'EQUAZIONE CARTESIANA DELLA RETTA "r"
Quesito a
Per trovare le equazioni parametriche della retta "s", basterebbe sostituire i valori di x0 e y0 di "r" con quelli di "s", ottenendo:
s) Sistema di: x = 2 - 2t y = - 3 - t
In questo caso il vettore direttore di tale retta è uguale a quello di prima poichè la retta "s" è parallela alla retta "r" cioè V = -2i - 3j
L'equazione cartesiana di tale retta sarà:
1) (x - 2)/-2 = (y + 3)/-1
2) -x + 2 - 2y - 6 = 0
3) x + 2y + 4 = 0 QUESTA DOVREBBE ESSERE L'EQUAZIONE CARTESIANA DELLA RETTA "s" parallela ad "r"
Quesito b
1) Come si fa a trovare un vettore Perpendicolare alla retta "r"??
Se non erro, data l'equazione cartesiana di una retta ax+by+c i numeri (a,b) rappresentano le componenti cartesiane di un vettore perpendicolare a tale retta, mentre(b,-a) rappresentano le componenti di un vettore parallelo alla retta
Quindi nel nostro caso:
l'equazione della retta "r" è x + 2y - 4 = 0
i coefficienti di x e y rappresentano le componenti di un vettore perpendicolare a tale retta cioè V = 1i + 2j.
Per l'equazione della retta utilizzo la formula del prodotto scalare a(x-x0) + b(y-y0) dove il punto P0 = (-1,2)
Cioè 1(x + 1) + 2(y - 2) = x + 1 + 2y - 4 = x + 2y - 3 = 0
IL LIBRO NON DA' QUESTA SOLUZIONE
Dal libro:
-2(x+1)-(y-2)=0 cioè 2x+y=0
Utilizza come componenti quelle del vettore V=-2i - 1j che è il vettore parallelo alla retta "r".
POTRESTE INDICARMI DOVE HO SBAGLIATO E SE I VARI PROCEDIMENTI SONO ESATTI??
IN PARTICOLARE, UNA VOLTA CONOSCIUTE LE EQUAZIONI PARAMETRICHE DI UNA RETTA, ESISTE UN MODO PER SCRIVERE DIRETTAMENTE L'EQUAZIONE DELLA RETTA CARTESIANA SENZA PASSARE PER L'UGUAGLIANZA (PARAMETRO T), MOLTIPLICAZIONE AD INCROCIO ETC..??
Grazie, forse mi sono dilungato un pò troppo vero????
ESERCIZIO
Date le equazioni parametriche di una retta
r) Sistema di: x = 2 - 2t y = 1-t
trovare:
a) le equazioni parametriche della retta s passante per P = (2,-3) e parallela ad r
b) l'equazione cartesiana della retta t per P = (-1,2) perpendicolare ad r
SVOLGIMENTO
Giusto per fare più cose:
Il vettore direttore della retta "r" è v = -2i - 1j con i e j versori; (sono i vettori che si sottolineano vero?)
Questa retta passa per il punto P0 = (2,1);
Per trovare l'equazione cartesiana di tale retta:
1) Elimino il parametro "t" ottenendo (x-2)/-2 = (y-1)/-1
2) Moltiplico ad incrocio ottenendo -x + 2 - 2y + 2 = 0 cioè x + 2y - 4 = 0 QUESTA DOVREBBE ESSERE L'EQUAZIONE CARTESIANA DELLA RETTA "r"
Quesito a
Per trovare le equazioni parametriche della retta "s", basterebbe sostituire i valori di x0 e y0 di "r" con quelli di "s", ottenendo:
s) Sistema di: x = 2 - 2t y = - 3 - t
In questo caso il vettore direttore di tale retta è uguale a quello di prima poichè la retta "s" è parallela alla retta "r" cioè V = -2i - 3j
L'equazione cartesiana di tale retta sarà:
1) (x - 2)/-2 = (y + 3)/-1
2) -x + 2 - 2y - 6 = 0
3) x + 2y + 4 = 0 QUESTA DOVREBBE ESSERE L'EQUAZIONE CARTESIANA DELLA RETTA "s" parallela ad "r"
Quesito b
1) Come si fa a trovare un vettore Perpendicolare alla retta "r"??
Se non erro, data l'equazione cartesiana di una retta ax+by+c i numeri (a,b) rappresentano le componenti cartesiane di un vettore perpendicolare a tale retta, mentre(b,-a) rappresentano le componenti di un vettore parallelo alla retta
Quindi nel nostro caso:
l'equazione della retta "r" è x + 2y - 4 = 0
i coefficienti di x e y rappresentano le componenti di un vettore perpendicolare a tale retta cioè V = 1i + 2j.
Per l'equazione della retta utilizzo la formula del prodotto scalare a(x-x0) + b(y-y0) dove il punto P0 = (-1,2)
Cioè 1(x + 1) + 2(y - 2) = x + 1 + 2y - 4 = x + 2y - 3 = 0
IL LIBRO NON DA' QUESTA SOLUZIONE
Dal libro:
-2(x+1)-(y-2)=0 cioè 2x+y=0
Utilizza come componenti quelle del vettore V=-2i - 1j che è il vettore parallelo alla retta "r".
POTRESTE INDICARMI DOVE HO SBAGLIATO E SE I VARI PROCEDIMENTI SONO ESATTI??
IN PARTICOLARE, UNA VOLTA CONOSCIUTE LE EQUAZIONI PARAMETRICHE DI UNA RETTA, ESISTE UN MODO PER SCRIVERE DIRETTAMENTE L'EQUAZIONE DELLA RETTA CARTESIANA SENZA PASSARE PER L'UGUAGLIANZA (PARAMETRO T), MOLTIPLICAZIONE AD INCROCIO ETC..??
Grazie, forse mi sono dilungato un pò troppo vero????
Risposte
"totò":
Ciao ragà, chiedo il vostro saggio aiuto
ESERCIZIO
Date le equazioni parametriche di una retta
r) Sistema di: x = 2 - 2t y = 1-t
trovare:
a) le equazioni parametriche della retta s passante per P = (2,-3) e parallela ad r
b) l'equazione cartesiana della retta t per P = (-1,2) perpendicolare ad r
La tua retta si scrive così:
$((x),(y)) = ((2),(1)) + t ((-2),(-1))$
le rette parallele ad essa si scrivono:
$((x),(y)) = ((a),(b)) + t ((-2),(-1))$
le rette perpendicolari ad essa si scrivono:
$((x),(y)) = ((a),(b)) + t ((1),(-2))$
Ti faccio notare che ti basta un vettore perpendicolare a $((-2),(-1))$.
La condizione di perpendicolarità è data da:
$((-2),(-1)) \cdot ((x_1),(x_2))=0$
cioè
$-2x_1 - x_2= 0$.
Io ho scelto il vettore $((1),(-2))$, ma potevo anche prendere $((45),(-90))$ oppure $((-14),(28))$.
Quello che conta è che il prodotto scalare dei due vettori sia nullo.
La condizione di perpendicolarità è data da:
$((-2),(-1)) \cdot ((x_1),(x_2))=0$
cioè
$-2x_1 - x_2= 0$.
Io ho scelto il vettore $((1),(-2))$, ma potevo anche prendere $((45),(-90))$ oppure $((-14),(28))$.
Quello che conta è che il prodotto scalare dei due vettori sia nullo.
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