La Retta, ma chi mi dice che è retta ??? :S

[eizram]

eccomi
allora comincio con le primissime cose di analisi
allora dal studio di geometria elementare poi con geometria differenziale sappiamo che una retta è una curva che ha la sua equazione ...
formata da infiniti punti , ma il punto a sua volta è un concetto primitivo :S che non ha ne direzione e ne verso ( o ha infiniti direzioni )... allora passo alla domanda :1)quale è la proprietà o definizione ( se esiste )che spiega che raporto c'è (o meglio quanto è l'angolo ) tra un punto e quello suessivo di una retta ... che distingue la curva retta dalle altre curve ... :S

2) quale è la differenza tra la proprietà di continuità e la proprità di densita della retta ?

[maurer]

Lascio volentieri la parola a persone più esperte di me... però mi sembra che la retta sia un concetto primitivo, ossia uno degli elementi che non vengono definiti (insieme al punto).
Per quanto riguarda il secondo punto: la retta è densa perché tra due suoi punti è sempre possibile trovarne un terzo; invece la retta è continua perché dividendola in due semirette con l'origine in comune, tale origine appartiene sempre alla retta.
Non sono sicuro che queste definizioni siano rigorosamente corrette... comunque ho tentato di riprendere la definizione di continuità attraverso le sezioni...
Spero di non aver scritto cretinate...

[Megan00b]

Che problema c'è a definire una retta?
Ad esempio nel piano...una retta è il luogo dei punti (x,y) tali che ax+by+c=0 per opportuni a,b,c.
Stessa cosa si può fare per ogni dimensione. (aumenteranno le equazioni necessarie a definire la retta)
A quanto ne so non definiamo la retta a partire dall'intuizione geometrica ma da quella algebrica, nel senso che definiamo e costruiamo i numeri reali (dai razionali) e chiamiamo retta l'insieme dei numeri reali, facendo opportune osservazioni, ad esempio che $RR$ è totalmente ordinato, che è infinito, che è di un certo tipo di infinito, ecc. Poi mostriamo che esiste un isomorfismo tra la generica retta definita da una o più equazioni in $RR^n$ e il modello "insieme dei numeri reali".
In quest'ottica densità e continuità sella retta seguono naturalmente dalle analoghe definizioni per l'insieme $RR$.