La retta e i punti
Salve
Chi può togliermi una curiosità riguardante la retta e i punti ?
Ecco qua:
SI può dire che una retta è costituita da infiniti punti,
nel senso che se non ci sono questi punti, non c'è neanche la retta ?
Se è così, dato che i punti hanno estensione nulla,
come fa un'infinità di questi punti generare un insieme di estensione non nulla ?
Ciò vuol dire che una retta contiene infiniti punti, ma è una cosa diversa da essi ?
Naturalmente questo vale anche per un segmento piccolissimo quanto si vuole, ma sempre finito.
Chi può togliermi una curiosità riguardante la retta e i punti ?
Ecco qua:
SI può dire che una retta è costituita da infiniti punti,
nel senso che se non ci sono questi punti, non c'è neanche la retta ?
Se è così, dato che i punti hanno estensione nulla,
come fa un'infinità di questi punti generare un insieme di estensione non nulla ?
Ciò vuol dire che una retta contiene infiniti punti, ma è una cosa diversa da essi ?
Naturalmente questo vale anche per un segmento piccolissimo quanto si vuole, ma sempre finito.
Risposte
"scifo":
SI può dire che una retta è costituita da infiniti punti,
no, non si può dire.
Per la goemetria euclidea la retta è un ente geometrico fondamentale, priva di spessore e con una sola dimensione (lunghezza).
Si può dire che contiene infiniti punti, ma non che è costituita da infiniti punti.
Se la retta non è costituita da infiniti punti, come mai in geometria analitica essa è rappresentata dall'equazione ax+by+c=0, cioè dagli infiniti punti che rappresentano le infinite soluzioni di questa equazione nelle due variabili x e y ?
Provo a risponderti, cercando di non banalizzare troppo. Qualcuno più esperto potrà correggere e completare.
Parliamo di geometria euclidea.
Stiamo parlando di un sistema assiomatico deduttivo che si fonda su concetti primitivi e assiomi, nozioni che sono necessarie per poter definire altri enti geometrici. Essendo la retta un concetto primitivo non può essere definito, ma si danno alcune proprietà: geometricamente priva di alcuno spessore ha una sola dimensione: la lunghezza.
La geometria analitica studia la geometria attraverso un sistema di coordinate e tratta gli enti geometrici utilizzando delle equazioni. Si basa sull'algebra e sull'analisi.
L'equazione che scrivi non è la definizione di retta, è un'eq. che rappresenta una retta. Non è neanche l'unica.
ad es:
\(\displaystyle {\left\lbrace\matrix{a_0x+b_0y+c_0z+d_0= 0\\ a_1x+b_1y+c_1z+d_1= 0 }\right.} \)
In conclusione un punto complanare può appartenere alla retta o non appartenervi, ma non costituire la retta.
Volgarizzo: il fatto che una borsa contenga mele o pere, non ci fa dire che questa è fatta con mele o pere.
Parliamo di geometria euclidea.
Stiamo parlando di un sistema assiomatico deduttivo che si fonda su concetti primitivi e assiomi, nozioni che sono necessarie per poter definire altri enti geometrici. Essendo la retta un concetto primitivo non può essere definito, ma si danno alcune proprietà: geometricamente priva di alcuno spessore ha una sola dimensione: la lunghezza.
La geometria analitica studia la geometria attraverso un sistema di coordinate e tratta gli enti geometrici utilizzando delle equazioni. Si basa sull'algebra e sull'analisi.
L'equazione che scrivi non è la definizione di retta, è un'eq. che rappresenta una retta. Non è neanche l'unica.
ad es:
\(\displaystyle {\left\lbrace\matrix{a_0x+b_0y+c_0z+d_0= 0\\ a_1x+b_1y+c_1z+d_1= 0 }\right.} \)
In conclusione un punto complanare può appartenere alla retta o non appartenervi, ma non costituire la retta.
Volgarizzo: il fatto che una borsa contenga mele o pere, non ci fa dire che questa è fatta con mele o pere.
Quindi, se ho capito bene, la retta della geometria analitica, cioè l'infinità dei suoi punti del piano cartesiano, non è una vera retta, perchè è costituta da questi suoi punti, non li contiene.
Volgarizzando: sono solo pere o mele ma manca la borsa....
Mentre tutte le altre curve come le coniche (ad esempio l'ellisse), le cubiche (ad esempio la cubica di Weiestrass), le quartiche (ad esempio la quartica di Luroth), e così via, possono essere normalmente considerate ognuna costituita da un infinità di punti, la retta come infinità di punti non è una vera retta perchè è costituita da questi punti, ma non li contiene?
Da notare che la maggior parte di queste curve (forse tutte!) può essere definita come luogo dei punti, cioè come l'insieme dei punti che soddisfano a particolari condizioni, prescindendo dalla sua rappresentazione analitica, cioè ad esempio dalla sua equazione cartesiana...
Naturalmente questo vale anche per la retta...
Fra le altre cose, non ho capito bene cosa significa che una retta "contiene" dei punti...
Un'ultima cosa, le curve sopraddette non possono anch'esse essere considerate prive di alcun spessore come la retta?
Volgarizzando: sono solo pere o mele ma manca la borsa....
Mentre tutte le altre curve come le coniche (ad esempio l'ellisse), le cubiche (ad esempio la cubica di Weiestrass), le quartiche (ad esempio la quartica di Luroth), e così via, possono essere normalmente considerate ognuna costituita da un infinità di punti, la retta come infinità di punti non è una vera retta perchè è costituita da questi punti, ma non li contiene?
Da notare che la maggior parte di queste curve (forse tutte!) può essere definita come luogo dei punti, cioè come l'insieme dei punti che soddisfano a particolari condizioni, prescindendo dalla sua rappresentazione analitica, cioè ad esempio dalla sua equazione cartesiana...
Naturalmente questo vale anche per la retta...
Fra le altre cose, non ho capito bene cosa significa che una retta "contiene" dei punti...
Un'ultima cosa, le curve sopraddette non possono anch'esse essere considerate prive di alcun spessore come la retta?
"scifo":Non sono assolutamente un esperto del campo, ma mi verrebbe da dire che il problema sta nel capire esattamente di cosa si stia parlando.
Salve
Chi può togliermi una curiosità riguardante la retta e i punti ?
Ecco qua:
SI può dire che una retta è costituita da infiniti punti,
nel senso che se non ci sono questi punti, non c'è neanche la retta ?
Se è così, dato che i punti hanno estensione nulla,
come fa un'infinità di questi punti generare un insieme di estensione non nulla ?
Ciò vuol dire che una retta contiene infiniti punti, ma è una cosa diversa da essi ?
Naturalmente questo vale anche per un segmento piccolissimo quanto si vuole, ma sempre finito.
Il concetto di "retta" non è una cosa sospesa nell'aria, ma deve essere collegata al contesto cui ci stiamo riferendo. Nella geometria analitica, per esempio, si potrebbe dire che una retta, per come è definita normalmente, è un sottospazio affine di $R^3$ di dimensione 1. In questo caso, una retta è a tutti gli effetti per definizione un sottoinsieme formato da infiniti punti; ma cosa c'è qui che non ti torna riguardo all'estensione non nulla della retta? Cos'è, esattamente, l'estensione?
Penso che in questo caso estensione significhi dimensione.
Quindi dire che un punto non ha estensione vuol dire che non ha dimensioni.
Analogamente una retta ha una sola estensione o dimensione (e penso anche una curva generica).
Quindi supponendo che la retta sia costituita da un'infinità di punti, dato che questi non hanno dimensioni, come fa un insieme di questi enti adimensionali a formare un ente unidimensionale, cioè la retta?
Quindi dire che un punto non ha estensione vuol dire che non ha dimensioni.
Analogamente una retta ha una sola estensione o dimensione (e penso anche una curva generica).
Quindi supponendo che la retta sia costituita da un'infinità di punti, dato che questi non hanno dimensioni, come fa un insieme di questi enti adimensionali a formare un ente unidimensionale, cioè la retta?
Una retta nel piano di Fano contiene tre punti...
Sono un ignorante che studia di scienze esatte per conto proprio per piacere personale da solo due annetti, ma ho trovato anch'io, anche su testi universitari per la facoltà di matematica (basta googlare per accorgersene), definizioni di retta e più generale di curva -limitatamente ad uno spazio euclideo $RR^n$- come costituite da infiniti punti... Risulta quindi che non è una caratterizzazione corretta.
Se ho ben capito il tuo dubbio, direi che non ci sia da stupirsi se infiniti punti di lunghezza 0 nel loro insieme danno un segmento di retta di lunghezza non nulla. Sarà poco intuitivo (vedi il paradosso di Achille e della tartaruga), ma se pensi che se $L\in RR$ è la lunghezza del segmento e lo dividi un numero arbitrariamente alto di volte hai che $\lim_{n\to\infty} L/n=0$.
Per quanto riguarda l'unidimensionalità, mi pare di capire che una retta o una curva regolare almeno a tratti è detta unidimensionale perché parametrizzabile utilizzando una sola variabile, fissato un valore (non più variabile, quindi) del quale ci si ritrova con un punto solo, per esempio sai sicuramente che in $RR^3$ una retta che passi per \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) di direzione \(\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\) può essere parametrizzata come
\(P=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}, t\in \mathbb{R}\): fissando per esempio $t=1$, o $t=$il valore reale che vuoi, hai un solo punto e assumendo $t$ tutti gli infiniti valori esistenti in $RR$ hai tutti i punti contenuti nella retta, che non credo essere sbagliato definire come insieme di questi punti (correggetemi se sbaglio).
Se ho ben capito il tuo dubbio, direi che non ci sia da stupirsi se infiniti punti di lunghezza 0 nel loro insieme danno un segmento di retta di lunghezza non nulla. Sarà poco intuitivo (vedi il paradosso di Achille e della tartaruga), ma se pensi che se $L\in RR$ è la lunghezza del segmento e lo dividi un numero arbitrariamente alto di volte hai che $\lim_{n\to\infty} L/n=0$.
Per quanto riguarda l'unidimensionalità, mi pare di capire che una retta o una curva regolare almeno a tratti è detta unidimensionale perché parametrizzabile utilizzando una sola variabile, fissato un valore (non più variabile, quindi) del quale ci si ritrova con un punto solo, per esempio sai sicuramente che in $RR^3$ una retta che passi per \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) di direzione \(\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\) può essere parametrizzata come
\(P=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}, t\in \mathbb{R}\): fissando per esempio $t=1$, o $t=$il valore reale che vuoi, hai un solo punto e assumendo $t$ tutti gli infiniti valori esistenti in $RR$ hai tutti i punti contenuti nella retta, che non credo essere sbagliato definire come insieme di questi punti (correggetemi se sbaglio).
Ciao, la domanda ha un che di filosofico però è abbastanza carina. Tento di risponderti cosi.
Assiomaticamente tu una retta la vedi come qualcosa di infinito , giusto? qualcosa di continuo.
Consideriamo uno spazio unidimensionale.
Si dimostra che se $r$ è una retta , essa può essere suddivisa in infinitesimi sempre più piccoli, cioè posso disegnare tanti segmenti quanto voglio io piccoli.
Alla fine questi segmenti sembreranno dei punti vicinissimi.
Ed ecco che entra in gioco l'infinità e la continuità della retta $r$.
I suoi punti possono essere messi in corrispondenza biunivoca con $RR$.
(non fidarti troppo, non so molto sull'argomento , però intuitivamente penso di non sbagliare moltissimo.)
Assiomaticamente tu una retta la vedi come qualcosa di infinito , giusto? qualcosa di continuo.
Consideriamo uno spazio unidimensionale.
Si dimostra che se $r$ è una retta , essa può essere suddivisa in infinitesimi sempre più piccoli, cioè posso disegnare tanti segmenti quanto voglio io piccoli.
Alla fine questi segmenti sembreranno dei punti vicinissimi.
Ed ecco che entra in gioco l'infinità e la continuità della retta $r$.
I suoi punti possono essere messi in corrispondenza biunivoca con $RR$.
(non fidarti troppo, non so molto sull'argomento , però intuitivamente penso di non sbagliare moltissimo.)
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