La pulce e il pettine
Ciao a tutti! Ho dei problemi con la pulce e il pettine, controesempio molto utile per far capire che connessione non implica connessione per archi. Dati $A=(0,1)$ (la pulce) e $B=[0,1] U {(1/n,y) tale che 0<=y<=1}$ (il pettine), sono arrivata a capire che $X=A U B$ è connesso , ma non riesco a capire come mai X non è connesso per archi. La mia prof ha scritto che dobbiamo mostrare che $f : [0,1] $ rarr $ X tale che 0 $ rarr $ (0,1)$ è l'arco costante, ma questo a che conclusione mi porta??
Aiutatemi!!
Aiutatemi!!
Risposte
Provo a riscrivere. Non si capiscono bene le tue formule:
E' così vero?
Per dimostrare che lo spazio $X$ non è connesso per archi, devi provare che esistono due punti che non sono collegati da nessun arco.
A tal fine la tua prof probabilmente vuole provare che se $f:[0,1]\to X$ è un arco il cui primo estremo è la pulce $(0,1)$ allora $f$ deve essere costante.
Una volta fatto ciò, non potrai mai trovare un arco che parte dalla pulce e va a finire in un punto del pettine perché l'unica curva che parte dalla pulce è l'arco costante!
"Gruppia":
Ciao a tutti! Ho dei problemi con la pulce e il pettine, controesempio molto utile per far capire che connessione non implica connessione per archi. Dati $A=(0,1)$ (la pulce) e $B=[0,1] \cup {(1/n,y)" tale che "0<=y<=1}$ (il pettine), sono arrivata a capire che $X=A \cup B$ è connesso , ma non riesco a capire come mai $X$ non è connesso per archi. La mia prof ha scritto che dobbiamo mostrare che $f : [0,1] rarr X$ tale che $0 rarr (0,1)$ è l'arco costante, ma questo a che conclusione mi porta??
Aiutatemi!!
E' così vero?
Per dimostrare che lo spazio $X$ non è connesso per archi, devi provare che esistono due punti che non sono collegati da nessun arco.
A tal fine la tua prof probabilmente vuole provare che se $f:[0,1]\to X$ è un arco il cui primo estremo è la pulce $(0,1)$ allora $f$ deve essere costante.
Una volta fatto ciò, non potrai mai trovare un arco che parte dalla pulce e va a finire in un punto del pettine perché l'unica curva che parte dalla pulce è l'arco costante!
Poiché [tex]$B$[/tex] è un sottoinsieme di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex]:
I) che topologia consideri su [tex]$B$[/tex]?
II) [tex]$[0;1]\not\subset\mathbb{R}^2$[/tex];
III) [tex]$n$[/tex] fa solo la presenza?
I) che topologia consideri su [tex]$B$[/tex]?
II) [tex]$[0;1]\not\subset\mathbb{R}^2$[/tex];
III) [tex]$n$[/tex] fa solo la presenza?
I) Quella indotta da [tex]\mathbb{R}^2[/tex];
II) e III) Precisamente [tex]$ B=([0,1]\times\{0\})\cup\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N^*}}\left\{(\frac{1}{n},y):\ 0\leq y\leq 1\right\}\right)\subset \mathbb{R}^2[/tex].
Edit: A proposito di I) naturalmente la topologia è indotta da [tex]\mathbb{R}^2[/tex] su [tex]X[/tex] e per quanto riguarda II) specifico che [tex]A=\{(0,1)\}[/tex] e [tex]X=A\cup B[/tex].
II) e III) Precisamente [tex]$ B=([0,1]\times\{0\})\cup\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N^*}}\left\{(\frac{1}{n},y):\ 0\leq y\leq 1\right\}\right)\subset \mathbb{R}^2[/tex].
Edit: A proposito di I) naturalmente la topologia è indotta da [tex]\mathbb{R}^2[/tex] su [tex]X[/tex] e per quanto riguarda II) specifico che [tex]A=\{(0,1)\}[/tex] e [tex]X=A\cup B[/tex].
Ovvio cirasa 
ma mi rivolgo Gruppia per farle capire e sottolineare alcune mancanze; all'esame tali mancanze si pagano care.
P.S.: Conoscendo tale esempio (io lo chiamo pettine topologico o pettine del topologo) sò che si considera la topologia naturale su [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex].
ma mi rivolgo Gruppia per farle capire e sottolineare alcune mancanze; all'esame tali mancanze si pagano care.P.S.: Conoscendo tale esempio (io lo chiamo pettine topologico o pettine del topologo) sò che si considera la topologia naturale su [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex].
Ah, ooops 
Scusami allora, pensavo che stessi chiedendo maggiori lumi
Scusami allora, pensavo che stessi chiedendo maggiori lumi
@cirasa Tranquillo
@Gruppia Purtroppo la dimostrazione che conosco è improponibile (3 pagine di appunti), mi stò limitando ad aiutarti solo sulla correttezza delle ipotesi.
@Gruppia Purtroppo la dimostrazione che conosco è improponibile (3 pagine di appunti), mi stò limitando ad aiutarti solo sulla correttezza delle ipotesi.
Grazie mille, adesso ho capito a cosa serviva l'arco costante! Comunque, per correttezza devo confessare che nel messaggio mi ero dimenticata di specificare cosa era n in B, ma per le altre incompletezze (quella sulla topologia di B e su [0,1]) ammetto che la prof non ha specificato un bel niente... anche se in realtà la topologia euclidea su B era scontata.....
Durante un esame di matematica nulla deve essere scontato.
Provo a buttare giù un tentativo di dimostrazione più breve di tre pagine .... in realtà non ci sono tutti i dettagli, ma credo che l'idea dovrebbe funzionare.
Dato che Gruppia non l'ha richiesta esplicitamente le metto dentro uno spoiler, non si sa mai volesse farlo da sola.
Spero di non aver commesso sviste.
Dato che Gruppia non l'ha richiesta esplicitamente le metto dentro uno spoiler, non si sa mai volesse farlo da sola.
Spero di non aver commesso sviste.
Ciao a tutti, mi intrufolo nella discussione :D
L'affermazione "nulla deve essere dato per scontato" di j18eos mi ha illuminato, anche perchè è una cosa che purtroppo faccio spesso e mi è anche costata cara in vari casi.
Ho deciso quindi di postare la dimostrazione che ho sugli appunti, per capire se l'ho compresa appieno o se ho qualche lacuna.
Siano $F=(0,1)\in R^{2}$ la pulce e $\Pi=${asse x} $\uu {x=frac{1}{m}, m\in Z , m\ne 0} $ il pettine. Sia poi $M= {F} \uu \Pi$.
Vogliamo provare che $M$ è connesso ma non connesso per archi.
1) $M$ connesso:
Per prima cosa si ha che $\Pi$ è connesso per cammini, quindi è connesso.
Sia ora $A$ un aperto qualsiasi di $R^{2}$ tale che $F\in A$.
Per come è definito $\Pi$ abbiamo che $A \nn \Pi\ne 0$. Inoltre si ha $(A\nn M)\nn \Pi\ne 0$.
Per la topologia indotta su $M$ abbiamo che $A\nn M$ è un aperto di $M$ contenente $F$.
Segue che $F\in cl(\Pi)$ in quanto un punto appartiene alla chiusura di un insieme sse per ogni aperto contenente il punto, si ha che questo ha intersezione non vuota con l'insieme.
Quindi se $F\in cl(\Pi)$ abbiamo che $M=cl(\Pi)$
Infine sappiamo che la chiusura ci $\Pi$ è connesso in quanto chiusura di un connesso. Segue che $M$ è connesso.
2) $M$ non è connesso per cammini.
In particolare dimostriamo che dato un cammino $alpha:I \rightarrow M$ tale che $alpha(0)=F$ (parte dalla pulce) è costante e cioè che $alpha^{-1}(F)=I$.
Sia $A={p\in M, y_{p}>0}$.
Si ha che $F\in A$ e $0 \in alpha^{-1}(A) sub I$
Consideriamo ora $B sub alpha^{-1}(A) sub I$ aperto, e $w=[0, \epsilon)\sub B$.
Abbiamo $F=alpha(0) sub alpha(w) sub alpha(B) sub alpha(alpha^{-1}(A)) sub A \rightarrow alpha(w) sub A$
Prendendo le funzioni $alpha:w rightarrow A sub M$ e $\pi_{1}:A sub M rightarrow Z={0,1/m, m\in Z}$, definiamo la funzione $beta=\pi_{1} @ alpha$ quindi $beta:w rightarrow Z$.
Per chiarezza $\pi_{1}$ rappresenta la proiezione sull'asse delle $x$ di un punto del piano $R^{2}$.
Essendo $w$ un intervallo in $R$, quindi connesso, e $beta$ continua in quanto composizione di funzioni continue, si ha che $beta(w)$ è connesso in $R$ quindi è convesso.
Ma allora $beta(w)$ contiene un solo punto altrimenti dovrebbe contenere anche il segmento che li unisce, che risulterebbe essere un insieme non numerabile contenuto in $Z$ che invece è numerabile.
Allora $beta(w)={0} rightarrow alpha(w)=(0,y)\in A sub M$.
Per come è definito $M$ abbiamo che $alpha(w)=(0,1)=F$ per ogni intervallo $w$.
Siccome $epsilon$ è arbitrario, si può assumere $w=I$, ottenendo la tesi.
Dite che può andare?
L'affermazione "nulla deve essere dato per scontato" di j18eos mi ha illuminato, anche perchè è una cosa che purtroppo faccio spesso e mi è anche costata cara in vari casi.
Ho deciso quindi di postare la dimostrazione che ho sugli appunti, per capire se l'ho compresa appieno o se ho qualche lacuna.
Siano $F=(0,1)\in R^{2}$ la pulce e $\Pi=${asse x} $\uu {x=frac{1}{m}, m\in Z , m\ne 0} $ il pettine. Sia poi $M= {F} \uu \Pi$.
Vogliamo provare che $M$ è connesso ma non connesso per archi.
1) $M$ connesso:
Per prima cosa si ha che $\Pi$ è connesso per cammini, quindi è connesso.
Sia ora $A$ un aperto qualsiasi di $R^{2}$ tale che $F\in A$.
Per come è definito $\Pi$ abbiamo che $A \nn \Pi\ne 0$. Inoltre si ha $(A\nn M)\nn \Pi\ne 0$.
Per la topologia indotta su $M$ abbiamo che $A\nn M$ è un aperto di $M$ contenente $F$.
Segue che $F\in cl(\Pi)$ in quanto un punto appartiene alla chiusura di un insieme sse per ogni aperto contenente il punto, si ha che questo ha intersezione non vuota con l'insieme.
Quindi se $F\in cl(\Pi)$ abbiamo che $M=cl(\Pi)$
Infine sappiamo che la chiusura ci $\Pi$ è connesso in quanto chiusura di un connesso. Segue che $M$ è connesso.
2) $M$ non è connesso per cammini.
In particolare dimostriamo che dato un cammino $alpha:I \rightarrow M$ tale che $alpha(0)=F$ (parte dalla pulce) è costante e cioè che $alpha^{-1}(F)=I$.
Sia $A={p\in M, y_{p}>0}$.
Si ha che $F\in A$ e $0 \in alpha^{-1}(A) sub I$
Consideriamo ora $B sub alpha^{-1}(A) sub I$ aperto, e $w=[0, \epsilon)\sub B$.
Abbiamo $F=alpha(0) sub alpha(w) sub alpha(B) sub alpha(alpha^{-1}(A)) sub A \rightarrow alpha(w) sub A$
Prendendo le funzioni $alpha:w rightarrow A sub M$ e $\pi_{1}:A sub M rightarrow Z={0,1/m, m\in Z}$, definiamo la funzione $beta=\pi_{1} @ alpha$ quindi $beta:w rightarrow Z$.
Per chiarezza $\pi_{1}$ rappresenta la proiezione sull'asse delle $x$ di un punto del piano $R^{2}$.
Essendo $w$ un intervallo in $R$, quindi connesso, e $beta$ continua in quanto composizione di funzioni continue, si ha che $beta(w)$ è connesso in $R$ quindi è convesso.
Ma allora $beta(w)$ contiene un solo punto altrimenti dovrebbe contenere anche il segmento che li unisce, che risulterebbe essere un insieme non numerabile contenuto in $Z$ che invece è numerabile.
Allora $beta(w)={0} rightarrow alpha(w)=(0,y)\in A sub M$.
Per come è definito $M$ abbiamo che $alpha(w)=(0,1)=F$ per ogni intervallo $w$.
Siccome $epsilon$ è arbitrario, si può assumere $w=I$, ottenendo la tesi.
Dite che può andare?
Se con [tex]$\mathrm{cl}(\cdot)$[/tex] intendi la chiusura topologica di un insieme, ti posso confermare il primo punto; sul secondo punto mi astengo (per ora).
OUT OF SELF Confermo che nulla deve essere dato per scontato in matematica, ma col tempo ho capito che i vari dettagli devono essere sistemati uno alla volta in ordine e non alla rinfusa; solo le evidenze devono essere scontate altrimenti si attorciglia inutilmente il ragionamento!
OUT OF SELF Confermo che nulla deve essere dato per scontato in matematica, ma col tempo ho capito che i vari dettagli devono essere sistemati uno alla volta in ordine e non alla rinfusa; solo le evidenze devono essere scontate altrimenti si attorciglia inutilmente il ragionamento!
Si, con $cl$ intendo la chiusura.
Dal secondo punto: perché [tex]$\alpha^{-1}(A)\subset I$[/tex]?
EDIT Corretto!
EDIT Corretto!
Non mi sembra di aver scritto quello che chiedi...
Al massimo che $alpha^{-1}(A) sub I$
Al massimo che $alpha^{-1}(A) sub I$
Corretto... ed il dubbio resta!
Beh $I=[0,1]$ e $F in A sub M$.
Se consideriamo il cammino $alpha: I rightarrow M$ con $alpha(0)=F$ si ha che $alpha^{-1}(A)sub I$ visto che almeno $F$ siamo sicuri appartenga ad $A$
Se consideriamo il cammino $alpha: I rightarrow M$ con $alpha(0)=F$ si ha che $alpha^{-1}(A)sub I$ visto che almeno $F$ siamo sicuri appartenga ad $A$
Ah sìsìsì, nel mio cervello si era formata l'immagine assolutamente errata di [tex]$\alpha^{-1}(A)\subseteq I$[/tex]; pardon!
Per non mettere in mezzo troppa roba porrei [tex]$w=[0;\epsilon)$[/tex]!
Per correttezza anche nei confronti di altri lettori, puoi modificare il precedente messaggio specificando chi sia [tex]$\pi_1$[/tex], grazie.
Mi fermo qui, per adesso.
Per non mettere in mezzo troppa roba porrei [tex]$w=[0;\epsilon)$[/tex]!
Per correttezza anche nei confronti di altri lettori, puoi modificare il precedente messaggio specificando chi sia [tex]$\pi_1$[/tex], grazie.
Mi fermo qui, per adesso.
Hai ragione, in effetti è $w=[0,epsilon)$ sugli appunti. Ho sbagliato a digitare :-)
Comunque ho corretto quello che mi hai chiesto!
Comunque ho corretto quello che mi hai chiesto!
"Røland":Detto così bisognerebbe lavorarci un pò, ma per salvare carro e buoi (*) direi più semplicemente che [tex]$\beta(w)$[/tex] è un intervallo.
...$beta(w)$ è connesso in $R$ quindi è convesso...
Detto questo è tutto corretto!
§§§
(*) Non me ne vogliano le capre ed i cavoli.. ed i loro funs!
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