La molteplicità geometrica di un autovalore è minore o al più uguale alla molteplicità algebrica dello stesso

[mcadei]

Teorema:
la molteplicità geometrica di un autovalore è minore o al più uguale alla molteplicità algebrica dello stesso ed è maggiore o uguale a 1.

Buongiorno, ho trovato questo teorema sul mio quaderno, ma non riesco a trovare la dimostrazione sul libro e neanche su internet. Purtroppo nel mio corso di algebra lineare non è stato affrontato il capitolo sugli endomorfismi (l'unica dimostrazione che ho trovato li utilizzava :/ ), perciò qualcuno per caso conosce una dimostrazione senza l'uso di tali concetti ?
Grazie mille in anticipo

[lukath]

"marcocadei":
Purtroppo nel mio corso di algebra lineare non è stato affrontato il capitolo sugli endomorfismi (l'unica dimostrazione che ho trovato li utilizzava :/ )

Vi hanno definito autovalori e autovettori senza definire cos'è un endomorfismo? Mi sembra abbastanza strano.
Comunque un endomorfismo è un'applicazione lineare che va da uno spazio vettoriale in se stesso, quindi niente di fantascientifico

Una possibile dimostrazione può essere:

Sia $V$ uno spazio vettoriale con $dim(V) = n$ e sia $f: V \to V$ la tua applicazione. Sia $lambda$ un autovalore per $f$. Poiché vi è un autovalore, devono esserci degli autovettori relativi a $lambda$, che in particolare formano un sottospazio vettoriale di $V$, che chiameremo $V_lambda$. Sia $s = dim(V_lambda)$. Possiamo utilizzare il teorema di completamento di base e definire:

$B={a_1,....a_s,a_(s+1),....a_n}$ base di $V$ con i primi $s$ vettori come base di $V_lambda$.

Sappiamo per certo che:

$f(a_i) = lambda*a_i$ $AAi = 1,....,s$ poiché autovettori
$f(a_j) = ?$ $AAj=s+1,...,n$.

Dunque la matrice rappresentativa di questa applicazione sarà una matrice di questo tipo:

http://postimg.org/image/ek55pbdq7/

A questo punto facendo il determinante della matrice trovata scoprirai che la molteplicità algebrica di $lambda$ è sempre maggiore o uguale a $s$, che è la molteplicità geometrica definita all'inizio della dimostrazione. Spero si capisca tutto