La dimensione di un sottospazio vettoriale

[olanda2000]

Siamo in uno spazio vettoriale V con dimensione 4, un suo sottospazio ha dimensione 2 e un altro sottospazio 3.
L'intersezione di questi due sottospazi è ha dimensione 1 , mentre la loro somma ha dimensione 4 ( quindi coincide con V).

Ma se fossimo in R4 , l'intersezione tra i due sottospazi, un piano e un volume, non dovrebbe avere dimensione sempre 2?
Come fa qui ad avere dimensione solo 1 ??

Grazie

[anto_zoolander]

Non è detto.
Hai un iperpiano $H$ che avrà una sola equazione cartesiana.
Un sottospazio $S$ di dimensione $2$ ovvero che avrà due equazione cartesiane.
Dunque il rango della matrice dell’intersezione sarà $2leqrleq3$.
Se Il rango è $2$ allora $SsubsetH$.
Se il rango è $3$ allora sono incidenti in uno spazio di dimensione $4-r=1$ ovvero una retta.

Lo so il mondo è strano beppe

[olanda2000]

Ma un piano di dimensione 2 non ha solo una equazione cartesiana?
E' la retta che ha due equazioni ( infatti è intersezione di due piani nello spazio).
L'iperpiano H di cui parli che dimensione ha?

[anto_zoolander]

Sei in dimensione 4 ricordati.

In generale in uno spazio vettoriale dicdimensione $n$, un sottospazio di dimensione $s$ ha $n-s$ equazioni cartesiane

[olanda2000]

capito...io ingenuamente cercavo di "vedere" un piano nello spazio 3D ordinario, invece in R4 è diverso...Però avevo letto che un piano è un piano in qualsiasi dimensione. Ha sempre una base di 2 soli vettori ad esempio...

[anto_zoolander]

Si, infatti è così. Ha sempre due vettori!
Prova a pensarla così: se noi vivessimo sul piano, non riusciremmo nemmeno a immaginarci come possa essere che un piano e una retta in dimensione $3$ si intersechino in un solo punto.
Invece noi siamo studiati e sappiamo che possiamo farlo!