La compattezza è una proprietà topologica (dimostrazione)
Sto studiando il teorema per cui, se $f:X->Y$ è una funzione continua fra spazi topologici, e X è compatto, anche f(X) lo è. Sia i miei appunti che il Manetti usano questa dimostrazione:
Sia A un ricoprimento aperto di f(X). Allora $f^-1(A):={f^-1(B) | BinA}$ è una famiglia di aperti che ricopre X. (La dimostrazione poi procede, ma da qui in poi mi è chiara)
Come si deduce il fatto che le $f^-1(B)$ siano aperti? Io so che f è continua, mentre non ho informazioni su $f^-1$, quindi gli aperti in Y non è detto che vengano mandati in aperti di X. Dove sbaglio?
Sia A un ricoprimento aperto di f(X). Allora $f^-1(A):={f^-1(B) | BinA}$ è una famiglia di aperti che ricopre X. (La dimostrazione poi procede, ma da qui in poi mi è chiara)
Come si deduce il fatto che le $f^-1(B)$ siano aperti? Io so che f è continua, mentre non ho informazioni su $f^-1$, quindi gli aperti in Y non è detto che vengano mandati in aperti di X. Dove sbaglio?
Risposte
"_ester_":
[...] Come si deduce il fatto che le $f^-1(B)$ siano aperti? [...]
E' proprio la definizione topologica di continuita'...
Chiedo scusa, ho fatto confusione nella definizione. Grazie
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