L^3 = Id - autovettori e autovalori
Sia $L : V→ V$ una applicazione lineare, con $V$ spazio vettoriale su $R$, supponiamo che
$L^ 3=Id$ (cioè supponiamo che la composizione di L con se stesso tre volte produca l’applicazione identità)
Dimostrare che, se $l$ è un autovalore di $L$, allora $l^3= 1$ e dare un esempio di una situazione come sopra in cui $V= R^2$
e $l$ non sia un numero reale.
Questo è un problema a cui non so dare soluzione. Non riesco proprio a capire come risolverlo. Mi viene in mente di dire che la composizione di $L$ con se stessa 3 volte è uguale alla matrice identica, la quale ha come autovalori il numero 1 e quindi, a prescindere dalla dimensione del mio spazio (ovvero dell'ordinovviamentee della matrice identica) ottengo sempre che il cubo dei suoi autovalori da uno (uno al cubo da sempre uno). Però poi pensando più a fondo penso che la singola applicazione L potrebbe avere autovalori differenti da 1 e arrivato qui mi blocco. Mi piacerebbe avere una soluzione. Grazie.
$L^ 3=Id$ (cioè supponiamo che la composizione di L con se stesso tre volte produca l’applicazione identità)
Dimostrare che, se $l$ è un autovalore di $L$, allora $l^3= 1$ e dare un esempio di una situazione come sopra in cui $V= R^2$
e $l$ non sia un numero reale.
Questo è un problema a cui non so dare soluzione. Non riesco proprio a capire come risolverlo. Mi viene in mente di dire che la composizione di $L$ con se stessa 3 volte è uguale alla matrice identica, la quale ha come autovalori il numero 1 e quindi, a prescindere dalla dimensione del mio spazio (ovvero dell'ordinovviamentee della matrice identica) ottengo sempre che il cubo dei suoi autovalori da uno (uno al cubo da sempre uno). Però poi pensando più a fondo penso che la singola applicazione L potrebbe avere autovalori differenti da 1 e arrivato qui mi blocco. Mi piacerebbe avere una soluzione. Grazie.
Risposte
$[Lvecu=lambdavecu] rarr [L^3vecu=lambda^3vecu] rarr [vecu=lambda^3vecu] rarr [lambda^3=1] rarr [lambda=1] vv [lambda=e^(i2/3pi)] vv [lambda=e^(i4/3pi)]$
Non potevi essere più preciso e dettagliato. Grazie.
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