L è un'applicazione simmetrica?

[Emy110]

Ciao...

- Sia $L: RR^3 -> RR^3$ l'endomorfismo definito dalle seguenti relazioni:

$L(1,1,1)=(2,1,0)$,

$L(2,0,-1)=(1,0,3)$,

$L(1,2,3)=(4,2,-2)$

Mostrare che L è un'applicazione simmetrica e determinare una base ortonormale di $RR^3$ costituita da autovettori di L.

Come si svolge?

[retrocomputer]

Forse potresti iniziare trovando la matrice associata a $L$...

[Emy110]

Non so proprio come si svolge l'esercizio!

Se possibile chiedo lo svolgimento...

Grazie

[retrocomputer]

Non so se ci sono trucchi più rapidi, ma per trovare la matrice associata a $L$ potresti svolgere
$((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))((1),(1),(1))=((2),(1),(0))$ e analogamente con gli altri vettori (sempre con le stesse incognite). Raggruppando opportunamente le 9 equazioni che ottieni, ti ritrovi tre sistemi lineari, uno in $a,b,c$, uno in $d,e,f$ e uno in $g,h,i$.

[Emy110]

I 3 sistemi lineari sono:

${(a+b+c=2)$
${(d+e+f=1)$
${(g+h+i=0)$

${(2a-c=1)$
${(2d-f=0)$
${(2g-i=3)$

${(a+2b+3c=4)$
${(d+2e+3f=2)$
${(g+2h+3i=-2)$

ora???????????

[retrocomputer]

Ora prendi la prima, la quarta e la settima, ne fai un sistema di tre equazioni in tre incognite e lo risolvi. Poi fai lo stesso con le altre equazioni. Alla fine, se siamo fortunati, dovrebbe saltare fuori la matrice, cioè i suoi elementi $a,...,i$.

[Emy110]

Svolgendo il sistema lineare, i suoi elementi sono uguali a: a=1 b=0 c=1 d=0 e=1 f=0 g=1 h=0 i=-1
quindi la matrice dovrebbe essere

$M=((1,0,1),(0,1,0),(1,0,-1))$

la matrice ottenuta è simmetrica se $M=M^T$

$M^T=((1,0,1),(0,1,0),(1,0,-1))$

Sono simmetriche.

Ora per determinare una base ortonormale costituita da autovettori di L debbo calcolare il polinomio caratteristico e con gli autospazi trovati applico il procedimento di Gram-Schmidt?

[retrocomputer]

Esatto: autovalori --> base di autovettori --> base ortonormale

[ee4]

"retrocomputer":Ora prendi la prima, la quarta e la settima, ne fai un sistema di tre equazioni in tre incognite e lo risolvi. Poi fai lo stesso con le altre equazioni. Alla fine, se siamo fortunati, dovrebbe saltare fuori la matrice, cioè i suoi elementi $a,...,i$.

perchè prendi proprio la prima, la quarta e la settima?

[Emy110]

Perché hanno le stesse incognite, quindi devi prendere la prima, la quarta e la settima e fai il primo sistema, poi la seconda, la quinta e l'ottava e fai il secondo sistema infine la terza, la sesta e la nona e fai il terzo sistema.