K[x] non è finitamente generato
salve a tutti, premetto che probabilmente è la domanda più banale che abbiate mai sentito... ma non mi è chiara una cosa nella dimostrazione della proposizione: \(\displaystyle K[x] \) non è finitamente generato.
Dim:
Procediamo per assurdo. Supponiamo che \(\displaystyle K[x] \) abbia un sistema \(\displaystyle S \) di generatori finiti \(\displaystyle \mbox{S}=\left\{ P_{1}\left( x \right),\; ...\; ,\; P_{k}\left( x \right) \right\} \).
Considero \(\displaystyle m_1\left(x\right) \) = grado di \(\displaystyle P_1\left(x \right) \) ... e \(\displaystyle m_k\left(x\right) \) = grado di \(\displaystyle P_k\left(x \right) \).
\(\displaystyle m = Max\left\{ m_{1}\left( x \right),\; ...\; ,\; m_{k}\left( x \right) \right\} \)
Ogni polinomio di grado > m non si può esprimere come combinazione lineare di polinomi di S.
\FINE
è proprio l'ultima frase della dimostrazione che non capisco... come si fa ad arrivare a quella conclusione? e poi, una volta arrivati... perchè dovrebbe farci capire che \(\displaystyle K[x] \) non è finitamente generato? (i generatori non sono comunque finiti?)
Dim:
Procediamo per assurdo. Supponiamo che \(\displaystyle K[x] \) abbia un sistema \(\displaystyle S \) di generatori finiti \(\displaystyle \mbox{S}=\left\{ P_{1}\left( x \right),\; ...\; ,\; P_{k}\left( x \right) \right\} \).
Considero \(\displaystyle m_1\left(x\right) \) = grado di \(\displaystyle P_1\left(x \right) \) ... e \(\displaystyle m_k\left(x\right) \) = grado di \(\displaystyle P_k\left(x \right) \).
\(\displaystyle m = Max\left\{ m_{1}\left( x \right),\; ...\; ,\; m_{k}\left( x \right) \right\} \)
Ogni polinomio di grado > m non si può esprimere come combinazione lineare di polinomi di S.
\FINE
è proprio l'ultima frase della dimostrazione che non capisco... come si fa ad arrivare a quella conclusione? e poi, una volta arrivati... perchè dovrebbe farci capire che \(\displaystyle K[x] \) non è finitamente generato? (i generatori non sono comunque finiti?)
Risposte
"dix93":
salve a tutti, premetto che probabilmente è la domanda più banale che abbiate mai sentito... ma non mi è chiara una cosa nella dimostrazione della proposizione: \(\displaystyle K[x] \) non è finitamente generato.
Dim:
Procediamo per assurdo. Supponiamo che \(\displaystyle K[x] \) abbia un sistema \(\displaystyle S \) di generatori finiti \(\displaystyle \mbox{S}=\left\{ P_{1}\left( x \right),\; ...\; ,\; P_{k}\left( x \right) \right\} \).
Considero \(\displaystyle m_1\left(x\right) \) = grado di \(\displaystyle P_1\left(x \right) \) ... e \(\displaystyle m_k\left(x\right) \) = grado di \(\displaystyle P_k\left(x \right) \).
\(\displaystyle m = Max\left\{ m_{1}\left( x \right),\; ...\; ,\; m_{k}\left( x \right) \right\} \)
Ogni polinomio di grado > m non si può esprimere come combinazione lineare di polinomi di S.
\FINE
è proprio l'ultima frase della dimostrazione che non capisco... come si fa ad arrivare a quella conclusione? e poi, una volta arrivati... perchè dovrebbe farci capire che \(\displaystyle K[x] \) non è finitamente generato? (i generatori non sono comunque finiti?)
Allora, facciamo un discorso generale. Prendi $v_1,v_2,....v_n$ vettori , $\lambda_1 , \lambda_2......\lambda_n in K$ .
Il vettore $v_(n+1)$ è dato dalla combinazione lineare dei vettori con gli scalari di $K$.
Cioè ad esempio $v_(n+1)= \lambda_1*v_1+1*v_2+\lambda_n*v_n$.
Ora , $K[x]$ nn può essere finitamente generato, perché la somma di polinomi non muta il grado del polinomio stesso.
quindi se tu hai $ {p_1(x),p_2(x),...,p_n(x)}$ base (supposta) di K[x]. Allora $EE maxdeg(p_i)$. Supponiamo che sia $n$.
Allora, se prendi un polinomio di $k[x]$ di grado $m=n+1$, esso non è generato da nessuna combinazione lineare di
$ {p_1(x),p_2(x),...,p_n(x)}$ . Da cui , l'asserto.
Nota : No i generatori non sono finiti, altrimenti $K[x]$ sarebbe finitamente generato!
grande! ora ho capito cosa intende dire il teorema...! 
grazie mille!!
grazie mille!!
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