Kerf e immagine?

[Fab996]

$S={((a,b),(b,c)) a,b,c ∈R}$ vabbè il kerf è semplice la base, coincide con una base di quello spazio vettoriale e quindi anche la sua dimensione coincide, mentre per l'immagine dato che la dimensione è 4, prendo una generica base per lo spazio vettoriale $((1,0),(0,0)),((0,1),(0,0)),((0,0),(1,0)),((0,0),(0,1))$ poi faccio la loro $f$ e ho ottenuto $f(b)=((0,0),(0,0)),((0,1),(-1,0)),((0,-1),(1,0)),((0,0),(0,0))$ , solo non capisco come ha fatto quest'ultimo passaggio...?

[Gi81]

Ma come è definita $f$? Quali sono dominio e codominio?

[Fab996]

"Gi8":Ma come è definita $f$? Quali sono dominio e codominio?

$A->A^(t)$

[Fab996]

"Gi8":Ma come è definita $f$? Quali sono dominio e codominio?

Ok, ho capito!

[Gi81]

Ottimo! Ora lo spieghi anche a me, che non ho capito nulla?

[Fab996]

"Gi8":Ottimo! Ora lo spieghi anche a me, che non ho capito nulla?

Siccome la $f:M_{2}x_{2}->M_{2}x_{2};A->A-A^(t)$ il kerf lo trovo con l'annullatore ossia $A-A^(t)=((0,0),(0,0))=>A=A^(t)$ quindi il kerf è composto da tutte le matrici simmetriche, quindi ha dimensione 3,dato che la dimensione delle matrici quadrate è data da $n*n$, la dimensione della matrice è 4, quindi la dimensione dell'immagine è per forza uno, quindi prendo una qualsiasi base di $R^(4)$, poi di questi 4 vettori applico la legge $A-A^(t)$ quindi ottengo un insieme di generatori per l'immagine. Esempio un vettore di $R^(4)$ è $((0,1),(0,0))$ applico la legge e ottengo $((0,1),(0,0))-((0,0),(1,0))$ quindi ottengo la matrice $((0,1),(-1,0))$ e faccio cosi per i rimanenti tre vettori, dato che so che la dimensione dell'immagine è uno, allora la sua base deve avere un vettore, tra qui 4 vettori che ottengo applicando la legge, ne scelgo uno che è linearmente indipendente.