Ker(f) e Im(f)
Ragazzi, avrei bisogno di una mano per il calcolo dell'immagine e del nucleo di una applicazione lineare.
$f (x, y, z) $ $=$ $(x - y, x - y + z)$
La matrice associata a questo sistema è:
$((1,-1,0),(1,-1,1))$
Ho calcolato Ker(f) risolvendo il sistema lineare omogeneo associato:
$\{(x - y = 0),(x - y + z = 0):}$
E mi risulta $Ker(f) = {(y, y, 0) | y(1, 1, 0) y in RR}$
Quindi $L (1, 1, 0)$ e $dim Ker(f) = 1$
L'applicazione non risulta iniettiva in quanto il nucleo è diverso da zero.
Ora, per il calcolo dell'immagine so iniziare, ma non so proseguire..
So che:
$Im(f) = L( f(e_1), f(e_2), f(e_3) ) = L( f(1, 0, 0), f(0, 1, 0), f(0, 0, 1) )$
$f(1, 0, 0) = (1, 1) $
$f(0, 1, 0) = (-1, -1)$
$f(0, 0, 1) = (0, 1)$
Ecco, qui mi blocco. So che devo controllare la dipendenza di questi 3 vettori ottenuti, ma non so farlo!
$f (x, y, z) $ $=$ $(x - y, x - y + z)$
La matrice associata a questo sistema è:
$((1,-1,0),(1,-1,1))$
Ho calcolato Ker(f) risolvendo il sistema lineare omogeneo associato:
$\{(x - y = 0),(x - y + z = 0):}$
E mi risulta $Ker(f) = {(y, y, 0) | y(1, 1, 0) y in RR}$
Quindi $L (1, 1, 0)$ e $dim Ker(f) = 1$
L'applicazione non risulta iniettiva in quanto il nucleo è diverso da zero.
Ora, per il calcolo dell'immagine so iniziare, ma non so proseguire..
So che:
$Im(f) = L( f(e_1), f(e_2), f(e_3) ) = L( f(1, 0, 0), f(0, 1, 0), f(0, 0, 1) )$
$f(1, 0, 0) = (1, 1) $
$f(0, 1, 0) = (-1, -1)$
$f(0, 0, 1) = (0, 1)$
Ecco, qui mi blocco. So che devo controllare la dipendenza di questi 3 vettori ottenuti, ma non so farlo!
Risposte
quand'è che 3vettori $v_1,v_2,v_3$ si dicono dipendenti?
se esistono coefficenti $a,b,c$ non tutti nulli t.c.
$av_1+bv_2+cv_3=0$
quindi devi verificare se trovi dei coefficienti che vanno bene....se li trovi vuol dire che devi eliminare almeno un vettore per avere gli altri indipendenti.....
se esistono coefficenti $a,b,c$ non tutti nulli t.c.
$av_1+bv_2+cv_3=0$
quindi devi verificare se trovi dei coefficienti che vanno bene....se li trovi vuol dire che devi eliminare almeno un vettore per avere gli altri indipendenti.....
Teoricamente credo d'aver capito, ma potresti applicare ciò che hai detto al mio esercizio così che io possa capirlo?
allora
$v_1=(1,1)$
$v_2=(-1,-1)$
$v_3=(0,1)$
devo verificare se esistono $a,b,c$ t.c.
$av_1+bv_2+cv_3=0$
cioè
$a((1),(1))+b((-1),(-1))+c((0),(1))=((0),(0))$
quindi devi risolvere il sistema
$\{(a-b= 0),(a-b+c=0):}$ e quindi ottieni che $a=b$ e $c=0$
questo vuol dire che
$av_1+av_2+0*v_3=0$ e quindi $av_1=-av_2$
cioè $v_1=-v_2$ (cosa che in realtà si vedeva subito senza svolgere alcun calcolo poichè $v_1=(1,1)$ e $v_2=(-1,-1)$)
quindi $v_1,v_2$ sono dipendenti,e puoi eliminare uno dei 2 dal tuo insieme di vettori $v_1,v_2,v_3$ e ottenere cos'ì dei vettori indipendenti
$v_1=(1,1)$
$v_2=(-1,-1)$
$v_3=(0,1)$
devo verificare se esistono $a,b,c$ t.c.
$av_1+bv_2+cv_3=0$
cioè
$a((1),(1))+b((-1),(-1))+c((0),(1))=((0),(0))$
quindi devi risolvere il sistema
$\{(a-b= 0),(a-b+c=0):}$ e quindi ottieni che $a=b$ e $c=0$
questo vuol dire che
$av_1+av_2+0*v_3=0$ e quindi $av_1=-av_2$
cioè $v_1=-v_2$ (cosa che in realtà si vedeva subito senza svolgere alcun calcolo poichè $v_1=(1,1)$ e $v_2=(-1,-1)$)
quindi $v_1,v_2$ sono dipendenti,e puoi eliminare uno dei 2 dal tuo insieme di vettori $v_1,v_2,v_3$ e ottenere cos'ì dei vettori indipendenti
Dimmi, per favore, se ho capito.. Ti scrivo come ho svolto questo esercizio..
Devo trovare quali sono i vettori dipendenti, dati i vettori:
$v_1 = (1, 2, 3)$
$v_2 = (0, -1, -2)$
$v_3 = (1, 1, 1)$
Quindi devo verificare se esistono $a, b, c$ tali che:
$av_1 + bv_2 + cv_3 = 0$
Quindi:
$a*((1),(2),(3))$ $+$ $b*((0),(-1),(-2))$ $+$ $c*((1),(1),(1))$ $=$ $((0),(0),(0))$
E quindi:
$\{(a + c = 0),(2a - b + c = 0),(3a - 2b + c = 0):}$
Andando ad usare le trasformazioni elementari sul sistema lineare, mi trovo alla fine con $a = -c$ e $c = -b$, quindi $a = b$. Ti trovi anche tu così?
Se i calcoli sono esatti quel sistema non ha soluzione, però non so cosa voglia dire ai fini del nostro discorso.
Devo trovare quali sono i vettori dipendenti, dati i vettori:
$v_1 = (1, 2, 3)$
$v_2 = (0, -1, -2)$
$v_3 = (1, 1, 1)$
Quindi devo verificare se esistono $a, b, c$ tali che:
$av_1 + bv_2 + cv_3 = 0$
Quindi:
$a*((1),(2),(3))$ $+$ $b*((0),(-1),(-2))$ $+$ $c*((1),(1),(1))$ $=$ $((0),(0),(0))$
E quindi:
$\{(a + c = 0),(2a - b + c = 0),(3a - 2b + c = 0):}$
Andando ad usare le trasformazioni elementari sul sistema lineare, mi trovo alla fine con $a = -c$ e $c = -b$, quindi $a = b$. Ti trovi anche tu così?
Se i calcoli sono esatti quel sistema non ha soluzione, però non so cosa voglia dire ai fini del nostro discorso.
"Mr.Mazzarr":
Andando ad usare le trasformazioni elementari sul sistema lineare, mi trovo alla fine con $ a = -c $ e $ c = -b $, quindi $ a = b $. Ti trovi anche tu così?
si è corretto
"Mr.Mazzarr":
quel sistema non ha soluzione, però non so cosa voglia dire ai fini del nostro discorso.
non è assoutamente vero
tu hai INFINITE soluzioni
pensaci: tu hai scoperto $a=b=-c$
questo vuol dire che se tu scegli $a=1$ allora $b=1$ e $c=-1$ e il sistema è verificato se tu usi questi numeri
ma tu puoi scegliere anche $a=2$ e quindi $b=2$ e $c=-2$ oppure $a=3$ e quindi $b=3$ e $c=-3$ e così via e il sistema è sempre verificato!
torniamo ai vettori....hai scoperto che se prendi $a=b=-c$ è verificato che
$ av_1 + bv_2 + cv_3 = 0 $
cioè hai scoperto che $ av_1 + av_2 - av_3 = 0 $ cioè $ v_1 + v_2 - v_3 = 0 $
e uindi $ v_1 = - v_2 + v_3$
quindi $v_1$ può essere scritto in funzione di $v_2$ e $v_3$ ed è qindi dipendente
ora se lo eliminiamo $v_2$ e $v_3$ sono indipendenti
Ah, perfetto.
Ora è tutto chiaro, grazie Benihime.
Ora è tutto chiaro, grazie Benihime.
ah inoltre il sistema che crei con questo procedimento ha sempre una soluzione almeno,ossia la soluzione $a=b=c=0$
se ti capita che quella soluzione sia l'unica,cosa vuol dire secondo te?
se ti capita che quella soluzione sia l'unica,cosa vuol dire secondo te?
Vuol dire che non ci sono vettori indipendenti?
no,che non ci sono vettori DIPENDENTI
infatti se $a=b=c=0$ è l'unica soluzione vuol dire che $av_1+bv_2+cv_3=0$ solo se tutti i coefficienti sono nulli,che è la definizione di indiendenti
quindi i vettori sono indipendenti
infatti se $a=b=c=0$ è l'unica soluzione vuol dire che $av_1+bv_2+cv_3=0$ solo se tutti i coefficienti sono nulli,che è la definizione di indiendenti
quindi i vettori sono indipendenti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo