Ker e immagini
[size=150]se io ho questa funzione
l:R3-->R3, l(x,y,z) = (0,x,y)
come faccio a trovare l'immagine e il ker della funzione ????
potreste spiegarmi dettagliatamente il procedimento proprio matematico (perchè in teoria so che il Ker è l'insieme di quelle soluzioi per cui Ax=0 ,con A si intende la matrice associata alla funzione; e so che le immagini corrispondono allo spancolonne diA)
grazie [/size]
l:R3-->R3, l(x,y,z) = (0,x,y)
come faccio a trovare l'immagine e il ker della funzione ????
potreste spiegarmi dettagliatamente il procedimento proprio matematico (perchè in teoria so che il Ker è l'insieme di quelle soluzioi per cui Ax=0 ,con A si intende la matrice associata alla funzione; e so che le immagini corrispondono allo spancolonne diA)
grazie [/size]
Risposte
se ti interessa la teoria generale applicata a quest'esercizio, prova intanto a scrivere la matrice. qualcuno ti aiuterà ad andare avanti.
io ti posso dire dalla definizione di l che l'immagine di tutti i punti hanno come prima coordinata 0 e come seconda e terza coordinata la prima e la seconda di partenza, che seono definite su tutto R, per cui l'immagine è il piano yz, ovvero x=0.
per quanto riguarda il ker, mi pare che la matrice A sia singolare, e quindi non invetribile (posso anche essere smentita). direttamente ponendo $(0,x,y)-=(0,0,0)$ si ha x=y=0, per cui il ker(l) dovrebbe essere l'asse z.
attendiamo conferme. ciao.
io ti posso dire dalla definizione di l che l'immagine di tutti i punti hanno come prima coordinata 0 e come seconda e terza coordinata la prima e la seconda di partenza, che seono definite su tutto R, per cui l'immagine è il piano yz, ovvero x=0.
per quanto riguarda il ker, mi pare che la matrice A sia singolare, e quindi non invetribile (posso anche essere smentita). direttamente ponendo $(0,x,y)-=(0,0,0)$ si ha x=y=0, per cui il ker(l) dovrebbe essere l'asse z.
attendiamo conferme. ciao.
"adaBTTLS":
se ti interessa la teoria generale applicata a quest'esercizio, prova intanto a scrivere la matrice. qualcuno ti aiuterà ad andare avanti.
io ti posso dire dalla definizione di l che l'immagine di tutti i punti hanno come prima coordinata 0 e come seconda e terza coordinata la prima e la seconda di partenza, che seono definite su tutto R, per cui l'immagine è il piano yz, ovvero x=0.
per quanto riguarda il ker, mi pare che la matrice A sia singolare, e quindi non invetribile (posso anche essere smentita). direttamente ponendo $(0,x,y)-=(0,0,0)$ si ha x=y=0, per cui il ker(l) dovrebbe essere l'asse z.
attendiamo conferme. ciao.
non riesco a capire quando dici che "per cui l'immagine è il piano yz, ovvero x=0."
la matrice associata all'endomorfismo è $((0,0,0),(1,0,0),(0,1,0))$, quindi come ha già detto questa utente che ha scritto prima di me il cui nick è inscrivibile(:Dok basta...) il determinante è0, quindi il nucleo ha almeno dim1.
Il ker è quindi ${(x=0),(y=0):}$ che di nuovo come ha già detto, corrisponde all'asse z di $R^3$ infatti ha dim1; l'immagine quindi deve aver dimensione 2 (teorema nullità+rango), infatti, appunto prendendo le colonne, ha come una possibile base ((0,1,0); (0,0,1)). Se lo scriviamo come $ r(0,1,0)+s(0,0,1)= {(x=0),(y=r),(z=s):}$ che è il piano$ x=0$ otteniamo l'equzione dell'immagine dell'endomorfismo.
Il ker è quindi ${(x=0),(y=0):}$ che di nuovo come ha già detto, corrisponde all'asse z di $R^3$ infatti ha dim1; l'immagine quindi deve aver dimensione 2 (teorema nullità+rango), infatti, appunto prendendo le colonne, ha come una possibile base ((0,1,0); (0,0,1)). Se lo scriviamo come $ r(0,1,0)+s(0,0,1)= {(x=0),(y=r),(z=s):}$ che è il piano$ x=0$ otteniamo l'equzione dell'immagine dell'endomorfismo.
"antani":
la matrice associata all'endomorfismo è $((0,0,0),(1,0,0),(0,1,0))$, quindi com'è a già detto questa utente che ha scritto prima di me il cui nick è inscrivibile(:Dok basta...) il determinante è0, quindi il nucleo ha almeno dim1.
Il ker è quindi ${(x=0),(y=0):}$ che di nuovo come ha già detto, corrisponde all'asse z di $R^3$ infatti ha dim1; l'immagine quindi deve aver dimensione 2 (teorema nullità+rango), infatti, appunto prendendo le colonne, ha come una possibile base ((0,1,0); (0,0,1)). Se lo scriviamo come $ r(0,1,0)+s(0,0,1)= {(x=0),(y=r),(z=s):}$ che è il piano$ x=0$ otteniamo l'equzione dell'immagine dell'endomorfismo.
continuo a non capire
non so cosa sia un endomorfismo e perchè necessariamente bisogna prendere una base per calcolare l' immagine
antani ti ha dato delle informazioni in più dal punto di vista teorico. io in realtà ti ho detto di aver calcolato Im e Ker in maniera diretta, anche perché in questo caso si poteva fare.
l'immagine è l'insieme dei valori della funzione l, e tu hai $l(x,y,z)=(0,x,y)$. devi pensare a che cos'è scritto nella formula:
il primo termine è zero per tutti i punti, cioè l'immagine di qualunque punto di $RR^3$ ha prima coordinata zero. significa che le immagini appartengono tutte al piano x=0 (ed il piano di equazione x=0 non è altro che quello che si chiama yz, cioè quello individuato dagli assi y e z). poi, siccome le altre due coordinate sono uguali una a x e una a y, e il campo di definizione è tutto $RR^3$, vuol dire che tutti i punti del piano x=0 fanno parte di Im(l).
per il Ker, ho imposto l(x,y,z)=vettore nullo, dunque $l(x,y,z)=(0,x,y)-=(0,0,0)$ ed ho ricavato, uguagliando le tre coordinate, 0=0, x=0, y=0... dunque $x=0^^y=0$, prima e seconda coordinata uguale a zero succede solo per i punti sull'asse z. però l'uguaglianza vale per tutti i punti sull'asse z, dunque Ker(l) è l'insieme di tutti i punti sull'asse z (che è uguale alla retta individuata dai piani x=0 e y=0).
è più chiaro?
NB: dalla risposta che hai dato ad antani, non capisco in quale ambito stai lavorando, e quindi quali tecniche dovremmo usare noi per aiutarti...
ciao.
l'immagine è l'insieme dei valori della funzione l, e tu hai $l(x,y,z)=(0,x,y)$. devi pensare a che cos'è scritto nella formula:
il primo termine è zero per tutti i punti, cioè l'immagine di qualunque punto di $RR^3$ ha prima coordinata zero. significa che le immagini appartengono tutte al piano x=0 (ed il piano di equazione x=0 non è altro che quello che si chiama yz, cioè quello individuato dagli assi y e z). poi, siccome le altre due coordinate sono uguali una a x e una a y, e il campo di definizione è tutto $RR^3$, vuol dire che tutti i punti del piano x=0 fanno parte di Im(l).
per il Ker, ho imposto l(x,y,z)=vettore nullo, dunque $l(x,y,z)=(0,x,y)-=(0,0,0)$ ed ho ricavato, uguagliando le tre coordinate, 0=0, x=0, y=0... dunque $x=0^^y=0$, prima e seconda coordinata uguale a zero succede solo per i punti sull'asse z. però l'uguaglianza vale per tutti i punti sull'asse z, dunque Ker(l) è l'insieme di tutti i punti sull'asse z (che è uguale alla retta individuata dai piani x=0 e y=0).
è più chiaro?
NB: dalla risposta che hai dato ad antani, non capisco in quale ambito stai lavorando, e quindi quali tecniche dovremmo usare noi per aiutarti...
ciao.
(ho corretto per modificare gli errori grammaticali:-D) beh tu hai parlato di matrice associata, e volevi sapere come dalle sue colonne si ricava un immagine no? beh come imamgino tu saprai l'immagine è un sottospazio vettoriale ok? quindi per esser definito può esser identificata una sua base ok? ecco quando tu fai la matrice associata, una base corrisponde proprio alle colonne della matrice associata rispetto alle basi canoniche (come del resto tu avevi già detto mi pare) pertanto una volta trovata una base, l'im o lo indichi come $L{(v_1),...,(v_n)}$ dove $(v_1),...,(v_n)$ sono i vettori della base dell'im appunto, che significa che l'im è l'insieme di tutte le combinaziopni lineari dei vettori formanti la base, oppure appunto trovi le sue equazioni partendo dalle basi, cosa particolarmente efficace in questo caso perchè siamo nello spazio cartesiano. Capito? spero di eser statp esauriente..ciao ciao!
"antani":
(ho corretto per modificare gli errori grammaticali:-D) beh tu hai parlato di matrice associata, e volevi sapere come dalle sue colonne si ricava un immagine no? beh come imamgino tu saprai l'immagine è un sottospazio vettoriale ok? quindi per esser definito può esser identificata una sua base ok? ecco quando tu fai la matrice associata, una base corrisponde proprio alle colonne della matrice associata rispetto alle basi canoniche (come del resto tu avevi già detto mi pare) pertanto una volta trovata una base, l'im o lo indichi come $L{(v_1),...,(v_n)}$ dove $(v_1),...,(v_n)$ sono i vettori della base dell'im appunto, che significa che l'im è l'insieme di tutte le combinaziopni lineari dei vettori formanti la base, oppure appunto trovi le sue equazioni partendo dalle basi, cosa particolarmente efficace in questo caso perchè siamo nello spazio cartesiano. Capito? spero di eser statp esauriente..ciao ciao!
potresti spiegarmi perchè un sottospazio (in questo caso l'imagine) può essere identificato con una base?
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