Ker di una matrice $A$
Ho bisogno di ripassare qualcosa di geometria 
Il ker di una matrice sarebbe la dimensione dello spazio delle soluzioni di $A\ X = 0$ ?
Dato $A\ X = b$ il sistema ammette soluzioni se e solo se $ b \in span {a^1,a^2,..,a^n}$ dove $a^1,a^2,..,a^n$ che sono i vettori colonna della matrice $A$ cioè nel concreto cosa significa che il vettore $b $ debba appartenere allo spazio generato dalle colonne della matrice?
Il ker di una matrice sarebbe la dimensione dello spazio delle soluzioni di $A\ X = 0$ ?
Dato $A\ X = b$ il sistema ammette soluzioni se e solo se $ b \in span {a^1,a^2,..,a^n}$ dove $a^1,a^2,..,a^n$ che sono i vettori colonna della matrice $A$ cioè nel concreto cosa significa che il vettore $b $ debba appartenere allo spazio generato dalle colonne della matrice?
Risposte
Significa che devi trovare una soluzione particolare che è combinazione lineare delle colonne presenti nel sottospazio. Tra l'altro tutte le soluzioni saranno date da una soluzione particolare più lo spazio generato dal ker.
grazie mille, potresti farmi un esempio?
Supponiamo che vai al supermercato e devi comprare delle caramelle e delle gomme e dei biscotti.
Sai che se compri una confezione di gomme e due di caramelle e una di biscotti spendi 9 euro, se ne compri 3 di caramelle spendi 6 euro, se ne compri due di biscotti e tre di caramelle e due di biscotti spendi 16 euro.
Riassumiamo tutto con le matrici:
$((1,2,1),(0,3,0),(2,3,2))=((9),(6),(16))$
Se analizziamo la matrice incompleta, ad esempio con Gauss:
$((1,2,1),(0,3,0),(2,3,2))=>((1,2,1),(0,3,0),(0,-1,0))=> ((1,2,1),(0,1,0),(0,0,0))$
Quindi il ker della matrice contiene un vettore, nello specifico:
$((1,2,1),(0,3,0),(2,3,2))((x),(y),(z))= ((0),(0),(0))=> \{(x+2y+z=0),(3y=0),(2x+3y+2z=0):}=>((1),(0),(-1))$
Ora troviamo una soluzione particolare:
$((1,2,1),(0,3,0),(2,3,2))((x),(y),(z))=((9),(6),(16))=> \{(x+2y+z=9),(3y=6),(2x+3y+2z=16):}=>((1),(2),(4))$
Quindi un possibile prezzo sarà:
$((1),(2),(4))$
Ma anche:
$((1),(2),(4))+ ((1),(0),(-1))=((2),(2),(3))$
E più in generale:
$((1+t),(2),(4-t))$
Dove puoi mettere un t qualsiasi
Sai che se compri una confezione di gomme e due di caramelle e una di biscotti spendi 9 euro, se ne compri 3 di caramelle spendi 6 euro, se ne compri due di biscotti e tre di caramelle e due di biscotti spendi 16 euro.
Riassumiamo tutto con le matrici:
$((1,2,1),(0,3,0),(2,3,2))=((9),(6),(16))$
Se analizziamo la matrice incompleta, ad esempio con Gauss:
$((1,2,1),(0,3,0),(2,3,2))=>((1,2,1),(0,3,0),(0,-1,0))=> ((1,2,1),(0,1,0),(0,0,0))$
Quindi il ker della matrice contiene un vettore, nello specifico:
$((1,2,1),(0,3,0),(2,3,2))((x),(y),(z))= ((0),(0),(0))=> \{(x+2y+z=0),(3y=0),(2x+3y+2z=0):}=>((1),(0),(-1))$
Ora troviamo una soluzione particolare:
$((1,2,1),(0,3,0),(2,3,2))((x),(y),(z))=((9),(6),(16))=> \{(x+2y+z=9),(3y=6),(2x+3y+2z=16):}=>((1),(2),(4))$
Quindi un possibile prezzo sarà:
$((1),(2),(4))$
Ma anche:
$((1),(2),(4))+ ((1),(0),(-1))=((2),(2),(3))$
E più in generale:
$((1+t),(2),(4-t))$
Dove puoi mettere un t qualsiasi
grazie ancora, l'esempio mi è chiaro. Volevo chiederti a questo punto quindi il nucleo della matrice è un vettore $(1,2,4)^T$ e questo vuol dire che c'è un parametro libero? Cioè il numero di incognite meno il rango è uno, ovvero la dimensione del nucleo?
Inoltre cosa vuol dire il perpendicolare al ker di una matrice?
Inoltre cosa vuol dire il perpendicolare al ker di una matrice?
Il nucleo è la soluzione del sistema posto a zero, quindi il vettore è $((1),(0),(-1))$
Esatto puoi vederlo così, la dimensione delle incognite meno quello del rango è quella del nucleo.
Praticamente si tratta dei vettori che vanno nell'immagine o che non appartengono al nucleo. Anche se per il concetto di perpendicolare bisognerebbe parlare di duale, lo conosci?
Esatto puoi vederlo così, la dimensione delle incognite meno quello del rango è quella del nucleo.
Praticamente si tratta dei vettori che vanno nell'immagine o che non appartengono al nucleo. Anche se per il concetto di perpendicolare bisognerebbe parlare di duale, lo conosci?
purtroppo no...questi concetti li stiamo riprendendo per la meccanica dei solidi..
Ora ti dirò un segreto per il quale mi daranno la caccia i puristi della Matematica
Un vettore, secondo la forma canonica, è ortogonale a un'altro se lo tratti come un vettore orizzontale e calcoli il prodotto riga per colonna con l'altro vettore e questo fa zero. Nel nostro caso:
$((x),(y),(z))=> ((x,y,z))((1),(0),(-1)) =0 => x-z=0=><((0),(1),(0)),((1),(0),(1))>$
Capito?
Un vettore, secondo la forma canonica, è ortogonale a un'altro se lo tratti come un vettore orizzontale e calcoli il prodotto riga per colonna con l'altro vettore e questo fa zero. Nel nostro caso:
$((x),(y),(z))=> ((x,y,z))((1),(0),(-1)) =0 => x-z=0=><((0),(1),(0)),((1),(0),(1))>$
Capito?
quindi il perpendicolare del ker di A nel nostro esempio è un vettore tale che il suo prodotto scalare con (1,0,-1)^T è nullo?
Ma allora le sai le cose 
Sì, esattamente, se conosci il prodotto scalare, sei a cavallo!
Sì, esattamente, se conosci il prodotto scalare, sei a cavallo!
sono pur sempre un aspirante ingegnere!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo