Ker di una matrice

[parascandolo]

Ciao a tutti,
devo calcolarmi il ker di una matrice cosi fatta:
$((0, 3, 3, 1), (0, -1, 2, 1), (0, 0, -2, 1), (0, 0, 0, -3))$. Se non sbaglio, so che per calcolare il ker si deve risolvere il sistema omogeneo associato, quindi devo risolvere questo sistema:
$\{(3y + 3z + w = 0),(-y + 2z + w = 0),(-2z + w = 0), (-3w = 0):}$
e le soluzioni mi vengano
$\{(0 = 0), (y = 0), (z = 0), (w = 0):}$, in questo caso il nucleo è $(0,0,0,0)$?
Grazie a tutti

[Quinzio]

E se moltiplico la matrice per $(1,0,0,0)^t$ cosa ottengo ?

[Godjackal]

Per il teorema di nullità più rango sai che $dimIm(f) + dimKer(f) = n$ dove $f$ è l'applicazione lineare e $n$ la dimensione dello spazio di partenza.

In questo caso sai che l'immagine di $f$ è generata dai 3 vettori colonna indipendenti, quindi per il criterio del rango da una matrice di rango 3.
Applicando la formula vedi subito che $dimKer(f)=4-3=1$ e quindi il Kernel ha infinite soluzioni generate da ${((1),(0),(0),(0))}$

[parascandolo]

Grazie mille...sei stato chiarissimo...

EDIT:
quindi se io ho la matrice relativa ad un autovalore del genere
$((0,0,0),(3,-1,0),(1,3,2))$ calcolando il sistema $\{(3x - y = 0),(x + 3y + 2z = 0):}$ trovo $\{(z = -5x),(y = 3x):}$ il suo autospazio è dato dal vettore $(1,3,-5)$?

[Godjackal]

Si

[parascandolo]

yes!!!!
Grazie mille davvero...